2024-07-11 21:41:41
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 4 и центром O. Высота SH пирамиды равна 3, а точка H является серединой отрезка AO . Найдите угол между плоскостью SBC и плоскостью основания пирамиды.
Геометрия 10 класс Угол между плоскостями. четырёхугольная пирамида основание пирамиды высота пирамиды точка H середина отрезка AO угол между плоскостями.
2024-07-11 21:41:54
Решение:
Проведём высоту $SH$ пирамиды и соединим точки $S$ и $B$. Получим прямоугольный треугольник $ASH$, в котором $AH$ — половина диагонали квадрата $ABCD$. Тогда $AH = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$.
Рассмотрим треугольник $AOH$. Он прямоугольный, т. к. $OH$ — высота пирамиды. По условию задачи $HO = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2}\cdot4 = 2$.
Тангенс угла $SAH$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $tg∠SAH = \frac{SH}{AH} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.
В треугольнике $SBH$ отрезок $SM$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Значит, $\angle SBM = 90° - ∠SAH$. Тангенс этого угла равен $tg(90°-∠SAH) = ctg∠SAH=\frac{AH}{SH}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
Угол между плоскостью $SBC$ и плоскостью основания пирамиды — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.
Искомый угол равен углу $SMB$, т. е. arctg $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ или примерно $56,31°$.
Ответ: arctg $\frac{4\sqrt{2}}{3}$, или примерно $56,31°$.
