В четырехугольнике ABCD известно, что AB=BC=10 см, CD=9 см, AD=21 см. Как можно найти диагональ BD, если вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность? ПОМОГИТЕ, ПЖ

Геометрия 10 класс Свойства вписанных четырехугольников геометрия четырёхугольник ABCD диагональ BD AB BC CD AD окружность свойства четырёхугольников задача 10 класс помощь математика Новый

Ответ:

Диагональ BD четырехугольника ABCD равна 17 см.

Объяснение:

Дан четырехугольник ABCD, в котором известны следующие стороны:

• AB = 10 см
• BC = 10 см
• CD = 9 см
• AD = 21 см

Так как четырехугольник ABCD описан вокруг окружности, то для него выполняется теорема о противоположных углах: сумма углов A и C равна 180 градусам. Это позволяет нам использовать свойства косинусов для нахождения диагонали BD.

Для нахождения длины диагонали BD мы можем использовать две формулы, основанные на косинусах углов A и C:

1. BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cosA
2. BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 * BC * CD * cosC

Так как углы A и C связаны, мы можем выразить cosC через cosA:

cosC = -cosA.

Теперь подставим известные значения в первую формулу:

BD^2 = 10^2 + 21^2 - 2 * 10 * 21 * cosA.

Подсчитаем:

• 10^2 = 100
• 21^2 = 441
• 2 * 10 * 21 = 420

Таким образом, у нас получается:

BD^2 = 100 + 441 - 420 * cosA.

Теперь подставим значения во вторую формулу:

BD^2 = 10^2 + 9^2 - 2 * 10 * 9 * cosC.

Подсчитаем:

• 9^2 = 81
• 2 * 10 * 9 = 180

Получаем:

BD^2 = 100 + 81 - 180 * cosC.

Теперь, так как cosC = -cosA, подставим это значение:

BD^2 = 100 + 81 + 180 * cosA.

Теперь у нас есть две формулы для BD^2:

• BD^2 = 541 - 420 * cosA
• BD^2 = 181 + 180 * cosA

Приравняем их:

541 - 420 * cosA = 181 + 180 * cosA.

Теперь соберем все термины с cosA с одной стороны:

541 - 181 = 420 * cosA + 180 * cosA.

Это дает нам:

360 = 600 * cosA.

Отсюда находим:

cosA = 0.6.

Теперь подставим значение cosA обратно в любую из формул для BD^2. Используем первую:

BD^2 = 100 + 441 - 420 * 0.6.

Посчитаем:

BD^2 = 541 - 252 = 289.

Теперь находим BD:

BD = √289 = 17 см.

Таким образом, длина диагонали BD равна 17 см.