В кубе ABCDA1B1C1D1 задана точка М, которая является центром грани AA1D1D. Какой угол образуют векторы BM и B1C?

Геометрия 10 класс Угол между векторами в пространстве куб точка М грани AA1D1D угол векторы BM B1C геометрия задачи по геометрии векторы в кубе угол между векторами Новый

Для решения данной задачи начнем с определения координат точек куба ABCDA1B1C1D1. Предположим, что куб имеет длину ребра a и расположен в пространстве следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• A1(0, 0, a)
• B1(a, 0, a)
• C1(a, a, a)
• D1(0, a, a)

Теперь найдем координаты точки M, которая является центром грани AA1D1. Грань AA1D1 имеет следующие вершины:

• A(0, 0, 0)
• A1(0, 0, a)
• D1(0, a, a)
• D(0, a, 0)

Чтобы найти центр этой грани, нужно взять среднее арифметическое координат этих четырех точек:

• x-координата: (0 + 0 + 0 + 0) / 4 = 0
• y-координата: (0 + 0 + a + a) / 4 = a / 2
• z-координата: (0 + a + a + 0) / 4 = a / 2

Таким образом, координаты точки M равны (0, a/2, a/2).

Теперь найдем векторы BM и B1C:

Вектор BM:

• Координаты точки B: (a, 0, 0)
• Координаты точки M: (0, a/2, a/2)

Вектор BM = M - B = (0 - a, a/2 - 0, a/2 - 0) = (-a, a/2, a/2).

Вектор B1C:

• Координаты точки B1: (a, 0, a)
• Координаты точки C: (a, a, 0)

Вектор B1C = C - B1 = (a - a, a - 0, 0 - a) = (0, a, -a).

Теперь найдем угол между векторами BM и B1C. Для этого используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (BM · B1C) / (|BM| * |B1C|),

где BM · B1C - скалярное произведение векторов, а |BM| и |B1C| - их длины.

Сначала найдем скалярное произведение:

BM · B1C = (-a) * 0 + (a/2) * a + (a/2) * (-a) = 0 + (a^2/2) - (a^2/2) = 0.

Теперь найдем длины векторов:

|BM| = sqrt((-a)^2 + (a/2)^2 + (a/2)^2) = sqrt(a^2 + a^2/4 + a^2/4) = sqrt(a^2 + a^2/2) = sqrt(3a^2/2) = a * sqrt(3/2).

|B1C| = sqrt(0^2 + a^2 + (-a)^2) = sqrt(a^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = a * sqrt(2).

Теперь подставим все в формулу для косинуса угла:

cos(θ) = 0 / (a * sqrt(3/2) * a * sqrt(2)) = 0.

Это означает, что угол между векторами BM и B1C равен 90 градусов, так как косинус угла равен нулю.

Ответ: Угол между векторами BM и B1C равен 90 градусов.