В квадрате ABCD точка K находится на середине стороны AB, а точка O - это точка пересечения отрезков KC и BD. Какой угол образуется между отрезками BO и OK?

Геометрия 10 класс Геометрия квадратов и свойства углов угол между отрезками квадрат ABCD точка K точка O отрезки KC и BD геометрия 10 класс задачи по геометрии свойства квадратов угол BO и OK пересечение отрезков Новый

Для решения этой задачи давайте сначала представим квадрат ABCD и обозначим его вершины:

• A(0, 1)
• B(1, 1)
• C(1, 0)
• D(0, 0)

Теперь найдем координаты точки K, которая находится на середине стороны AB. Поскольку A и B имеют координаты (0, 1) и (1, 1) соответственно, то координаты точки K будут:

• K((0 + 1)/2, (1 + 1)/2) = K(0.5, 1)

Теперь найдем уравнения отрезков KC и BD.

1. **Уравнение отрезка KC:**

1. Координаты K: (0.5, 1)
2. Координаты C: (1, 0)
3. Найдем наклон (угловой коэффициент) отрезка KC: m1 = (yC - yK) / (xC - xK) = (0 - 1) / (1 - 0.5) = -2
4. Уравнение прямой в форме y - y1 = m(x - x1): y - 1 = -2(x - 0.5) => y = -2x + 2

2. **Уравнение отрезка BD:**

1. Координаты B: (1, 1)
2. Координаты D: (0, 0)
3. Найдем наклон (угловой коэффициент) отрезка BD: m2 = (yD - yB) / (xD - xB) = (0 - 1) / (0 - 1) = 1
4. Уравнение прямой: y - 1 = 1(x - 1) => y = x

Теперь найдем точку O, которая является точкой пересечения отрезков KC и BD. Для этого решим систему уравнений:

• y = -2x + 2
• y = x

Подставим y из второго уравнения в первое:

• x = -2x + 2
• 3x = 2
• x = 2/3

Теперь найдем y:

• y = 2/3

Таким образом, координаты точки O будут O(2/3, 2/3).

Теперь мы можем найти углы между отрезками BO и OK. Для этого найдем векторы BO и OK:

• BO = O - B = (2/3 - 1, 2/3 - 1) = (-1/3, -1/3)
• OK = K - O = (0.5 - 2/3, 1 - 2/3) = (-1/6, 1/3)

Теперь найдем угловые коэффициенты этих векторов:

• Коэффициент наклона BO: mBO = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1/3 - (-1/3)) / (2/3 - 1) = 0
• Коэффициент наклона OK: mOK = (1/3 - (-1/6)) / (-1/6 - (-1/3)) = (1/3 + 1/6) / (-1/6 + 1/3) = (2/6 + 1/6) / (2/6) = 3/6 / 2/6 = 3/2

Теперь мы можем найти угол между двумя векторами, используя формулу:

cos(φ) = (m1 * m2 - 1) / (sqrt(1 + m1^2) * sqrt(1 + m2^2)), где m1 и m2 - угловые коэффициенты векторов.

Подставляя значения:

• m1 = 0
• m2 = 3/2

Так как m1 = 0, угол между вектором BO и осью X равен 90 градусов, что означает, что угол между векторами BO и OK также равен 90 градусов.

Ответ: угол между отрезками BO и OK равен 90 градусов.