Чтобы доказать, что длины перпендикуляров ОН и ОС равны, давайте рассмотрим несколько ключевых шагов и свойств окружности:

1. Определение равных хорд: В окружности хорды КЛ и МН равны по длине. Это значит, что они находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности О.
2. Свойство перпендикуляров к хордам: В окружности перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Это значит, что ОН делит хорду МН на две равные части, а ОС делит хорду КЛ на две равные части.
3. Рассмотрение треугольников: Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных перпендикулярами: треугольник ОНМ и треугольник ОСК. В обоих треугольниках гипотенузы (радиусы окружности ОМ и ОК) равны, так как это радиусы одной и той же окружности.
4. Равенство половин хорд: Поскольку хорды КЛ и МН равны, их половины (КС и НМ) также равны. Это значит, что отрезки КС и НМ равны.
5. Равенство треугольников: Треугольники ОНМ и ОСК имеют равные гипотенузы (радиусы окружности) и равные катеты (половины хорд). Следовательно, по теореме о равенстве прямоугольных треугольников (катет и гипотенуза), треугольники ОНМ и ОСК равны.
6. Равенство перпендикуляров: Из равенства треугольников следует, что соответствующие элементы этих треугольников равны. Это значит, что перпендикуляры ОН и ОС, являющиеся вторыми катетами в этих треугольниках, также равны.

Таким образом, мы доказали, что длины перпендикуляров ОН и ОС равны.