2025-04-09 06:05:19
В окружности с центром в точке О проведены хорда АВ и радиус OD, которые пересекаются в точке С. Известно, что АВ перпендикулярна OD, OC равно 9, а CD равно 32. Как можно определить длину хорды АВ?
Геометрия 10 класс Хорды и радиусы окружности длина хорды АВ окружность центр О радиус OD перпендикулярные отрезки геометрия хорда точка пересечения OC CD
2025-04-09 06:05:29
Давайте решим задачу по шагам, используя известные свойства окружности и прямоугольного треугольника.
Шаг 1: Понимание ситуацииУ нас есть окружность с центром в точке O. Хорда AB пересекает радиус OD в точке C, и известно, что AB перпендикулярна OD. Также даны длины отрезков: OC = 9 и CD = 32.
Шаг 2: Определение длины ODЧтобы найти длину радиуса OD, мы можем сложить отрезки OC и CD:
- OD = OC + CD = 9 + 32 = 41.
Поскольку хорда AB перпендикулярна радиусу OD, который проходит через точку C, мы можем использовать теорему о перпендикуляре из центра окружности к хорде. Эта теорема утверждает, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит хорду пополам.
Шаг 4: Определение длины отрезка ACОбозначим точку пересечения хорды AB с радиусом OD как C. Так как OD перпендикулярен AB, можно сказать, что треугольник OCD является прямоугольным, где OC = 9 и CD = 32.
Теперь мы можем найти длину отрезка OD:
- OD = 41.
В прямоугольном треугольнике ODC по теореме Пифагора можно записать:
- OC^2 + CD^2 = OD^2.
- 9^2 + 32^2 = 41^2.
- 81 + 1024 = 1681.
- 1681 = 1681. Это подтверждает правильность наших расчетов.
Поскольку OD перпендикулярен AB и делит ее пополам, мы можем найти длину хорды AB, используя теорему о перпендикуляре:
- AB = 2 * AC.
Чтобы найти AC, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике OAC:
- OA^2 = OC^2 + AC^2.
- 41^2 = 9^2 + AC^2.
- 1681 = 81 + AC^2.
- AC^2 = 1681 - 81 = 1600.
- AC = sqrt(1600) = 40.
Теперь мы можем найти длину хорды AB:
- AB = 2 * AC = 2 * 40 = 80.
Таким образом, длина хорды AB равна 80.
