В окружности с центром в точке О проведены хорда АВ и радиус OD, которые пересекаются в точке С. Известно, что АВ перпендикулярна OD, OC равно 9, а CD равно 32. Как можно определить длину хорды АВ?

Геометрия 10 класс Хорды и радиусы окружности длина хорды АВ окружность центр О радиус OD перпендикулярные отрезки геометрия хорда точка пересечения OC CD Новый

Давайте решим задачу по шагам, используя известные свойства окружности и прямоугольного треугольника.

Шаг 1: Понимание ситуации

У нас есть окружность с центром в точке O. Хорда AB пересекает радиус OD в точке C, и известно, что AB перпендикулярна OD. Также даны длины отрезков: OC = 9 и CD = 32.

Шаг 2: Определение длины OD

Чтобы найти длину радиуса OD, мы можем сложить отрезки OC и CD:

• OD = OC + CD = 9 + 32 = 41.

Шаг 3: Применение теоремы о перпендикуляре

Поскольку хорда AB перпендикулярна радиусу OD, который проходит через точку C, мы можем использовать теорему о перпендикуляре из центра окружности к хорде. Эта теорема утверждает, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит хорду пополам.

Шаг 4: Определение длины отрезка AC

Обозначим точку пересечения хорды AB с радиусом OD как C. Так как OD перпендикулярен AB, можно сказать, что треугольник OCD является прямоугольным, где OC = 9 и CD = 32.

Теперь мы можем найти длину отрезка OD:

• OD = 41.

Шаг 5: Использование теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике ODC по теореме Пифагора можно записать:

• OC^2 + CD^2 = OD^2.
• 9^2 + 32^2 = 41^2.
• 81 + 1024 = 1681.
• 1681 = 1681. Это подтверждает правильность наших расчетов.

Шаг 6: Находим длину хорды AB

Поскольку OD перпендикулярен AB и делит ее пополам, мы можем найти длину хорды AB, используя теорему о перпендикуляре:

• AB = 2 * AC.

Чтобы найти AC, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике OAC:

• OA^2 = OC^2 + AC^2.
• 41^2 = 9^2 + AC^2.
• 1681 = 81 + AC^2.
• AC^2 = 1681 - 81 = 1600.
• AC = sqrt(1600) = 40.

Шаг 7: Подсчет длины хорды AB

Теперь мы можем найти длину хорды AB:

• AB = 2 * AC = 2 * 40 = 80.

Таким образом, длина хорды AB равна 80.