В основании прямоугольного параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 находится квадрат со стороной 2. На боковом ребре ДД1, длина которого равна 3, выбрана точка К, делящая его в отношении 2:1 от вершины Д. Необходимо найти: а) угол между прямыми КС и А1В1; б) угол между плоскостями АКС и АВС.

Геометрия 10 класс Прямоугольные параллелепипеды и углы между прямыми и плоскостями геометрия прямоугольный параллелепипед угол между прямыми Угол между плоскостями квадрат длина ребра точка деления координаты задача по геометрии математическая геометрия Новый

Давайте решим эту задачу с энтузиазмом!

Мы имеем прямоугольный параллелепипед, и начнем с определения координат всех его вершин.

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(2, 0, 3)
• C1(2, 2, 3)
• D1(0, 2, 3)

Теперь определим координаты точки K. Она делит отрезок DD1 в отношении 2:1 от вершины D, что означает, что K находится на 2/3 пути от D до D1.

Координаты точки K можно найти следующим образом:

• K(0, 2, 2) - 2/3 от D(0, 2, 0) и 1/3 от D1(0, 2, 3)

Теперь найдем угол между прямыми KС и A1B1.

Для этого найдем векторы:

• Вектор KС: KS = C - K = (2 - 0, 2 - 2, 0 - 2) = (2, 0, -2)
• Вектор A1B1: A1B1 = B1 - A1 = (2 - 0, 0 - 0, 3 - 3) = (2, 0, 0)

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла θ между двумя векторами:

cos(θ) = (KС * A1B1) / (|KС| * |A1B1|)

Сначала найдем скалярное произведение:

KС * A1B1 = (2 * 2) + (0 * 0) + (-2 * 0) = 4

Теперь найдем длины векторов:

• |KС| = √(2^2 + 0^2 + (-2)^2) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2
• |A1B1| = √(2^2 + 0^2 + 0^2) = √4 = 2

Теперь подставим в формулу:

cos(θ) = 4 / (2√2 * 2) = 4 / (4√2) = 1/√2

Таким образом, угол между прямыми KС и A1B1 равен 45 градусам.

Теперь найдем угол между плоскостями АКС и АВС.

Для этого найдем нормали к этим плоскостям:

• Плоскость АВС: нормальный вектор N1 = (0, 0, 1)
• Плоскость АКС: найдем два вектора в плоскости и найдем их векторное произведение.

Векторы:

• Вектор АК: К - A = (0 - 0, 2 - 0, 2 - 0) = (0, 2, 2)
• Вектор АС: C - A = (2 - 0, 2 - 0, 0 - 0) = (2, 2, 0)

Теперь находим векторное произведение:

N2 = АК × АС = |i j k|

|0 2 2|

|2 2 0|

Вычисляем детерминант:

N2 = (0*0 - 2*2)i - (0*0 - 2*2)j + (0*2 - 2*2)k = (-4)i + (4)j + (0)k = (-4, 4, 0)

Теперь найдем угол между нормалями:

cos(φ) = (N1 * N2) / (|N1| * |N2|)

Скалярное произведение:

N1 * N2 = (0 * -4) + (0 * 4) + (1 * 0) = 0

Длины нормалей:

• |N1| = 1
• |N2| = √((-4)^2 + 4^2 + 0^2) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

Подставим в формулу:

cos(φ) = 0 / (1 * 4√2) = 0

Это означает, что угол между плоскостями АКС и АВС равен 90 градусам!

В итоге:

1. Угол между прямыми KС и A1B1 равен 45 градусам.
2. Угол между плоскостями АКС и АВС равен 90 градусам.

Как здорово, что мы смогли решить эту задачу! Ура!