В основании прямой призмы с высотой 12 лежит прямоугольник abcd, стороны которого ab и ad соответственно равны 8 и 10. Какова площадь сечения призмы плоскостью (amn), если точки m и n являются серединами рёбер a1d1 и a1d1 соответственно?

Геометрия 10 класс Сечения и площади сечений многогранников прямая призма высота призмы площадь сечения прямоугольник середины ребер геометрия 10 класс задача по геометрии Новый

Чтобы найти площадь сечения прямой призмы плоскостью (amn), давайте сначала разберемся с заданными параметрами и определим необходимые шаги.

Шаг 1: Определение координат точек

Пусть прямоугольник abcd расположен в плоскости xy, где:

• A(0, 0, 0)
• B(8, 0, 0)
• C(8, 10, 0)
• D(0, 10, 0)

Так как высота призмы равна 12, то верхние точки будут иметь координаты:

• A1(0, 0, 12)
• B1(8, 0, 12)
• C1(8, 10, 12)
• D1(0, 10, 12)

Шаг 2: Определение точек M и N

Точки M и N являются серединами рёбер A1D1 и B1C1 соответственно.

• Координаты точки M (середина A1D1):
• M = ((0 + 0)/2, (0 + 10)/2, (12 + 12)/2) = (0, 5, 12)
• Координаты точки N (середина B1C1):
• N = ((8 + 8)/2, (0 + 10)/2, (12 + 12)/2) = (8, 5, 12)

Шаг 3: Определение плоскости AMN

Теперь у нас есть три точки: A(0, 0, 0), M(0, 5, 12) и N(8, 5, 12). Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, можно использовать векторное произведение.

Шаг 4: Найдем векторы AM и AN

• Вектор AM = M - A = (0, 5, 12) - (0, 0, 0) = (0, 5, 12)
• Вектор AN = N - A = (8, 5, 12) - (0, 0, 0) = (8, 5, 12)

Шаг 5: Находим нормальный вектор к плоскости

Теперь вычислим векторное произведение AM и AN:

• AM x AN = |i j k|
• |0 5 12|
• |8 5 12|

Вычисляем определитель:

• i(5*12 - 12*5) - j(0*12 - 12*8) + k(0*5 - 8*5)
• 0 - j(-96) - 40k
• 0 + 96j - 40k

Таким образом, нормальный вектор к плоскости AMN равен (0, 96, -40).

Шаг 6: Найдем площадь сечения

Сечение плоскостью AMN будет представлять собой параллелограмм, образованный векторами AM и AN. Площадь данного параллелограмма равна:

Площадь = длина вектора AM * длина вектора AN * sin(угол между ними).

Однако, так как AM и AN лежат в одной плоскости (параллельно оси Z), угол между ними равен 0, и мы можем просто взять длины векторов:

• Длина AM = sqrt(0^2 + 5^2 + 12^2) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13.
• Длина AN = sqrt(8^2 + 5^2 + 12^2) = sqrt(64 + 25 + 144) = sqrt(233).

Учитывая, что векторы AM и AN образуют прямоугольный треугольник, то площадь сечения равна:

Площадь = 1/2 * длина AM * длина AN.

Итак, окончательный ответ: Площадь сечения призмы плоскостью AMN равна 96 квадратных единиц.