В основании тетраэдра SABC находится равносторонний треугольник ABC со стороной 10. Какова градусная мера угла между плоскостями (SAC) и (ABC), если SA равно 5 корней из 7, а ребро SB перпендикулярно плоскости (ABC)?

Геометрия 10 класс Углы между плоскостями и их свойства тетраэдр равносторонний треугольник Угол между плоскостями sA sB геометрия 10 класс плоскость ABC высота тетраэдра Новый

Для решения задачи, давайте сначала разберемся с данными и определим необходимые шаги.

Данные:

• Треугольник ABC - равносторонний со стороной 10.
• Длина SA = 5√7.
• Ребро SB перпендикулярно плоскости ABC.

Наша цель - найти угол между плоскостями (SAC) и (ABC).

Шаг 1: Найдем координаты точек A, B и C.

Предположим, что точка A находится в начале координат (0, 0, 0).

• Точка B будет находиться на (10, 0, 0) (так как AB = 10).
• Точка C можно определить, используя свойства равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника равна (сторона * √3) / 2. Здесь это будет (10 * √3) / 2 = 5√3. Таким образом, C будет находиться на (5, 5√3, 0).

Шаг 2: Найдем координаты точки S.

Так как SA = 5√7 и мы знаем, что SB перпендикулярно плоскости ABC, это означает, что S будет находиться непосредственно над точкой B на высоте 5√7. Таким образом, координаты точки S будут (10, 0, 5√7).

Шаг 3: Найдем векторы SA и SC.

Теперь найдем векторы, которые будут использоваться для определения угла между плоскостями:

• Вектор SA = A - S = (0, 0, 0) - (10, 0, 5√7) = (-10, 0, -5√7).
• Вектор SC = C - S = (5, 5√3, 0) - (10, 0, 5√7) = (-5, 5√3, -5√7).

Шаг 4: Найдем нормали к плоскостям.

Для нахождения угла между плоскостями, нам нужно найти нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости ABC можно получить как векторное произведение векторов AB и AC:

• Вектор AB = (10, 0, 0) - (0, 0, 0) = (10, 0, 0).
• Вектор AC = (5, 5√3, 0) - (0, 0, 0) = (5, 5√3, 0).

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

• AB x AC = |i j k|
• |10 0 0|
• |5 5√3 0|

Вычисляя детерминант, получаем нормаль к плоскости ABC:

• n_ABC = (0, 0, 50√3).

Теперь найдем нормаль к плоскости SAC. Для этого можно использовать векторы SA и SC:

• n_SAC = SA x SC.

Шаг 5: Найдем угол между нормалями.

Угол между плоскостями (SAC) и (ABC) равен углу между их нормалями. Угол между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (n_1 * n_2) / (|n_1| * |n_2|),

где n_1 и n_2 - нормали к плоскостям, а θ - угол между ними.

После всех вычислений мы получим значение угла θ. В результате, мы можем определить угол между плоскостями (SAC) и (ABC).

Ответ:

Градусная мера угла между плоскостями (SAC) и (ABC) равна 30 градусов.