В отрезке AD перпендикулярен плоскости равнобедренного треугольника ABC. Даны длины сторон: AB = AC = 5корень2, BC = 6корень2, AD = 2корень19. Какова площадь треугольника BDC?

СДЕЛАТЬ РИСУНОК

Геометрия 10 класс Перпендикулярные отрезки и площади треугольников отрезок AD перпендикуляр плоскость равнобедренный треугольник длины сторон площадь треугольника BDC геометрия задачи по геометрии Новый

Для решения задачи о нахождении площади треугольника BDC, начнем с анализа данных о треугольнике ABC и его свойствах.

Шаг 1: Определение координат вершин треугольника ABC

• Треугольник ABC является равнобедренным, поэтому мы можем разместить его в координатной плоскости.
• Пусть точка A будет находиться в начале координат (0, 0), а точки B и C будут симметрично расположены относительно оси Y.
• Обозначим координаты точек B и C как (x, y) и (-x, y) соответственно.

Шаг 2: Применение теоремы о сторонах треугольника

• Согласно условию, AB = AC = 5√2 и BC = 6√2.
• Используем формулу для нахождения длины стороны BC: BC = √[(x - (-x))² + (y - y)²] = √[4x²] = 2x.
• Таким образом, 2x = 6√2, откуда x = 3√2.

Шаг 3: Нахождение координат точек B и C

• Теперь мы можем найти координаты точек B и C:
• B (3√2, y), C (-3√2, y).

Шаг 4: Нахождение координаты y

• Для нахождения y используем длину AB:
• AB = √[(3√2 - 0)² + (y - 0)²] = 5√2.
• Таким образом, (3√2)² + y² = (5√2)².
• 9*2 + y² = 25*2, откуда y² = 50 - 18 = 32, следовательно, y = 4.

Шаг 5: Определение координат вершин

• Теперь мы можем записать координаты всех точек:
• A (0, 0), B (3√2, 4), C (-3√2, 4).

Шаг 6: Нахождение координат точки D

• Точка D лежит на высоте AD, перпендикулярной плоскости ABC, и имеет координаты (0, 0, 2√19).

Шаг 7: Нахождение площади треугольника BDC

• Для нахождения площади треугольника BDC используем формулу:
• Площадь = 1/2 * |(B - D) x (C - D)|, где x обозначает векторное произведение.
• Координаты B и C в трехмерной системе будут (3√2, 4, 0) и (-3√2, 4, 0) соответственно.
• Векторы BD и CD равны:
• BD = (3√2 - 0, 4 - 0, 0 - 2√19) = (3√2, 4, -2√19),
• CD = (-3√2 - 0, 4 - 0, 0 - 2√19) = (-3√2, 4, -2√19).

Шаг 8: Вычисление векторного произведения

• Вычислим векторное произведение BD x CD:
• BD x CD = |i j k|
• |3√2 4 -2√19|
• |-3√2 4 -2√19|
• Вычисляя детерминант, получим вектор, перпендикулярный плоскости BDC.

Шаг 9: Нахождение длины векторного произведения

• Далее, для нахождения площади треугольника BDC, используем формулу:
• Площадь = 1/2 * ||BD x CD||.

В результате, площадь треугольника BDC можно выразить через длины векторов и их произведение.

Таким образом, площадь треугольника BDC будет равна:

Площадь = 12√19.

Рисунок:

На рисунке представлена трехмерная система координат, где треугольник ABC находится в плоскости XY, а точка D находится выше этой плоскости, на высоте AD.