2025-09-11 13:35:15
В прямоугольнике ABCE проведена диагональ AC. Угол CAB в два раза больше угла ACB. Каков периметр прямоугольника, если длина диагонали AC составляет 10 см, а длина стороны BC равна a см?
БЕЗ КОРНЕЙ ЭТО 1 ЧЕТВЕРТЬ
Геометрия 10 класс Геометрические свойства прямоугольника и треугольника прямоугольник диагональ AC угол CAB угол ACB периметр прямоугольника длина диагонали длина стороны BC задача по геометрии свойства углов решение задачи
2025-09-11 13:35:29
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Итак, у нас есть прямоугольник ABCE, в котором проведена диагональ AC. Из условия известно, что угол CAB в два раза больше угла ACB. Обозначим угол ACB как x. Тогда угол CAB будет равен 2x.
В прямоугольнике сумма углов при вершине A равна 90 градусам, так как это прямой угол. Таким образом, мы можем записать уравнение:
- 2x + x = 90
Это упрощается до:
- 3x = 90
- x = 30
Теперь мы знаем, что угол ACB равен 30 градусам, а угол CAB равен 60 градусам.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что диагональ AC равна 10 см. В этом треугольнике мы можем использовать соотношения тригонометрии для нахождения сторон AB и BC. Обозначим длину стороны BC как a см. Тогда длина стороны AB будет равна:
- AB = AC * cos(30) = 10 * (√3 / 2) = 5√3 см
Теперь мы можем выразить сторону AB через сторону BC. Поскольку в прямоугольнике ABCE, стороны AB и BC являются перпендикулярными, мы можем использовать теорему Пифагора:
- AC² = AB² + BC²
Подставим известные значения:
- 10² = (5√3)² + a²
- 100 = 75 + a²
- a² = 100 - 75
- a² = 25
- a = 5 см
Теперь мы знаем длины сторон прямоугольника:
- BC = a = 5 см
- AB = 5√3 см
Теперь можем найти периметр прямоугольника. Периметр P прямоугольника вычисляется по формуле:
- P = 2 * (AB + BC)
Подставляем значения:
- P = 2 * (5√3 + 5)
- P = 10√3 + 10 см
Таким образом, периметр прямоугольника ABCE равен 10√3 + 10 см.