Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть два треугольника: прямоугольный треугольник АВС и треугольник МNK.

Шаг 1: Определим углы треугольника МNK.

• Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам.
• Пусть углы треугольника МNK равны 5x, 9x и 4x.
• Тогда:
• 5x + 9x + 4x = 180
• 18x = 180
• x = 10.

Таким образом, углы треугольника МNK равны:

• Угол М = 5 * 10 = 50 градусов,
• Угол N = 9 * 10 = 90 градусов,
• Угол K = 4 * 10 = 40 градусов.

Шаг 2: Найдем соотношение сторон треугольников.

В треугольнике АВС угол A равен 40 градусам, угол B равен 90 градусам, а угол C равен 50 градусам (180 - 40 - 90).

В треугольнике МNK угол M равен 50 градусам, угол N равен 90 градусам, а угол K равен 40 градусам.

Таким образом, оба треугольника подобны, так как у них равны углы.

Шаг 3: Используем подобие треугольников для нахождения соотношения сторон.

По свойству подобия треугольников, отношение соответствующих сторон равно отношению длин любых двух сторон.

В треугольнике АВС у нас есть отрезок BC = 10 см, а в треугольнике МNK отрезок NM = 15 см.

Теперь найдем соотношение между сторонами:

• Сторона AC (в треугольнике АВС) соответствует стороне KM (в треугольнике МNK).
• Сторона AB (в треугольнике АВС) соответствует стороне MN (в треугольнике МNK).

Составим пропорцию:

• AC / KM = BC / NM.
• AC / KM = 10 / 15 = 2 / 3.

Шаг 4: Найдем соотношение длин отрезков AC и KM.

Таким образом, соотношение длин отрезков AC и KM равно 2:3.

В заключение, ответ на задачу: соотношение длин отрезков AC и KM составляет 2:3.