Для решения этой задачи давайте сначала вспомним некоторые свойства прямоугольного треугольника и его элементов, таких как биссектрисы и высоты.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам. Гипотенуза AB, а стороны AC и BC - катеты. Обозначим точку D как точку деления гипотенузы AB биссектрисой угла C в отношении 1 : 2. Это означает, что отрезок AD в 1 раз больше, чем отрезок DB.

Теперь, согласно свойству биссектрисы в треугольнике, она делит противолежащую сторону (в нашем случае гипотенузу) в отношении, равном отношениям прилежащих сторон. То есть:

• AD / DB = AC / BC

Так как мы знаем, что AD : DB = 1 : 2, то мы можем записать:

• AC / BC = 1 / 2.

Это означает, что если мы обозначим AC = x, то BC = 2x.

Теперь найдем высоту, опущенную на гипотенузу AB. Высота h, проведенная из вершины C на гипотенузу AB, можно найти через формулу:

• h = (AC * BC) / AB.

Сначала найдем длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора:

• AB = √(AC² + BC²) = √(x² + (2x)²) = √(x² + 4x²) = √(5x²) = x√5.

Теперь подставим значения в формулу для высоты:

• h = (x * 2x) / (x√5) = 2x² / (x√5) = 2x / √5.

Теперь давайте найдем отношение высоты h к отрезку гипотенузы AB:

• Отношение h : AB = (2x / √5) : (x√5) = 2 / 5.

Таким образом, отношение высоты, опущенной на гипотенузу, к самой гипотенузе равно 2 : 5.

Ответ: Отношение высоты, опущенной на гипотенузу, к гипотенузе равно 2 : 5.