В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит её на отрезки длиной 5 см и 12 см. Как можно определить длины катетов этого треугольника?

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники и вписанные окружности прямоугольный треугольник вписанная окружность длины катетов гипотенуза отрезки геометрия задача по геометрии решение задачи свойства треугольника математические задачи Новый

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, в котором известны длины отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу, мы можем воспользоваться следующими шагами.

Шаг 1: Обозначим известные величины

• Длина первого отрезка (от точки касания до одного из концов гипотенузы) равна 5 см.
• Длина второго отрезка (от точки касания до другого конца гипотенузы) равна 12 см.

Шаг 2: Найдем длину гипотенузы

Длина гипотенузы (c) равна сумме этих двух отрезков:

c = 5 см + 12 см = 17 см.

Шаг 3: Обозначим катеты

Обозначим катеты треугольника как a и b. В прямоугольном треугольнике, если точка касания делит гипотенузу на отрезки длиной m и n, то мы можем использовать следующие соотношения:

• a = m + r,
• b = n + r,

где r - радиус вписанной окружности. В нашем случае m = 5 см и n = 12 см.

Шаг 4: Найдем радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле:

r = (a + b - c) / 2.

Для начала, нам нужно выразить a и b через r.

Шаг 5: Подставим значения

• Подставим a = 5 + r и b = 12 + r в формулу для радиуса:

r = ((5 + r) + (12 + r) - 17) / 2.

Упростим это уравнение:

r = (5 + 12 + 2r - 17) / 2.

r = (2r) / 2.

Таким образом, r = r.

Теперь подставим r обратно в выражения для a и b:

• a = 5 + r,
• b = 12 + r.

Шаг 6: Найдем a и b

Теперь мы можем выразить a и b через r:

• Так как r = 0, то a = 5 и b = 12.

Итог

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны:

• Катет a = 5 см.
• Катет b = 12 см.

Эти длины соответствуют известным отрезкам, и мы подтвердили их правильность через радиус вписанной окружности.