2025-03-06 08:22:24
В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит её на отрезки длиной 5 см и 12 см. Как можно определить длины катетов этого треугольника?
Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники и вписанные окружности прямоугольный треугольник вписанная окружность длины катетов гипотенуза отрезки геометрия задача по геометрии решение задачи свойства треугольника математические задачи
2025-03-06 08:22:40
Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, в котором известны длины отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу, мы можем воспользоваться следующими шагами.
Шаг 1: Обозначим известные величины- Длина первого отрезка (от точки касания до одного из концов гипотенузы) равна 5 см.
- Длина второго отрезка (от точки касания до другого конца гипотенузы) равна 12 см.
Длина гипотенузы (c) равна сумме этих двух отрезков:
c = 5 см + 12 см = 17 см.
Шаг 3: Обозначим катетыОбозначим катеты треугольника как a и b. В прямоугольном треугольнике, если точка касания делит гипотенузу на отрезки длиной m и n, то мы можем использовать следующие соотношения:
- a = m + r,
- b = n + r,
где r - радиус вписанной окружности. В нашем случае m = 5 см и n = 12 см.
Шаг 4: Найдем радиус вписанной окружностиРадиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле:
r = (a + b - c) / 2.
Для начала, нам нужно выразить a и b через r.
Шаг 5: Подставим значения- Подставим a = 5 + r и b = 12 + r в формулу для радиуса:
r = ((5 + r) + (12 + r) - 17) / 2.
Упростим это уравнение:
r = (5 + 12 + 2r - 17) / 2.
r = (2r) / 2.
Таким образом, r = r.
Теперь подставим r обратно в выражения для a и b:
- a = 5 + r,
- b = 12 + r.
Теперь мы можем выразить a и b через r:
- Так как r = 0, то a = 5 и b = 12.
Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны:
- Катет a = 5 см.
- Катет b = 12 см.
Эти длины соответствуют известным отрезкам, и мы подтвердили их правильность через радиус вписанной окружности.
