В прямоугольном треугольнике величина угла A составляет 60°. Из вершины угла A проведена биссектриса AD, которая разбивает противоположный катет на отрезки BD и DC.

1. Докажите, что ΔBCA∼ΔBAD.
2. Найдите отношение BD:DС. Ответ запишите в виде отношения чисел.

Геометрия 10 класс С Similarity of Triangles and Angle Bisector Theorem геометрия 10 класс прямоугольный треугольник угол A биссектриса треугольники подобие треугольников ΔBCA ΔBAD отношение отрезков BD DC доказательство свойства треугольников Новый

Для начала, давайте обозначим вершины нашего прямоугольного треугольника ABC, где угол A равен 60°, угол B равен 30° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°), а угол C равен 90°.

Теперь рассмотрим биссектрису AD, которая делит угол A пополам, следовательно, угол BAD будет равен 30° (половина от 60°), а угол DAC также будет равен 30°.

Теперь у нас есть два треугольника: ΔBCA и ΔBAD. Мы хотим доказать, что они подобны.

Доказательство подобия треугольников ΔBCA и ΔBAD:

1. Угол A в треугольнике ΔBCA равен 60°.
2. Угол B в треугольнике ΔBCA равен 30°.
3. Угол D в треугольнике ΔBAD равен 30° (так как это угол BAD).
4. Таким образом, угол ADB равен 90° (так как AD является биссектрисой, а угол A = 60°).
5. Следовательно, угол BAD = 30°, а угол ABD = 90°.
6. Таким образом, мы имеем: угол ACB = угол BAD = 30°, угол ABC = угол ABD = 90° и угол A = угол A = 60°.

Таким образом, по критерию AA (две пары равных углов) треугольники ΔBCA и ΔBAD подобны: ΔBCA ∼ ΔBAD.

Нахождение отношения BD:DС:

Согласно свойству биссектрисы, отношение отрезков, на которые она делит противоположный катет, равно отношению прилежащих к углу сторон:

BD/DC = AB/AC.

В нашем случае:

• AB – это катет, противолежащий углу A (угол 60°).
• AC – это катет, противолежащий углу B (угол 30°).

В прямоугольном треугольнике с углом 60° и 30° стороны соотносятся как 1:√3:2. Следовательно:

• AB (противолежащий углу 30°) = 1x (где x – это общая единица измерения).
• AC (противолежащий углу 60°) = √3x.

Таким образом, мы можем записать:

BD/DC = AB/AC = 1/√3.

Для удобства представим это отношение в виде чисел:

BD:DC = 1:√3.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √3:

BD:DC = √3:3.

Итак, окончательный ответ:

BD:DC = 1:√3.