В тетраэдре CLNZ известны следующие данные:

• угол LCN = 60°
• угол NCZ = 90°
• угол ZCL = 45°
• LC = 10 см
• ZC = 16 см
• NC = 14 см

Каковы:

1. рёбра основания LNZ данного тетраэдра?
2. площади всех боковых граней тетраэдра?

Геометрия 10 класс Тетраэдры и их свойства тетраэдр CLNZ угол LCN угол NCZ угол ZCL рёбра основания LNZ площади боковых граней геометрия тетраэдра расчет площадей трехмерная геометрия задачи по геометрии Новый

Для решения задачи о тетраэдре CLNZ, начнём с определения рёбер основания LNZ. Основание LNZ состоит из трёх рёбер: LN, NZ и LZ. Для их нахождения воспользуемся известными длинами и углами.

1. Нахождение рёбер основания LNZ:

• Ребро LN: Используем теорему косинусов. Известно, что угол LCN = 60°, а длины рёбер LC и NC равны 10 см и 14 см соответственно. Таким образом, мы можем рассчитать LN:
• LN² = LC² + NC² - 2 * LC * NC * cos(60°)
• LN² = 10² + 14² - 2 * 10 * 14 * 0.5
• LN² = 100 + 196 - 140
• LN² = 156
• LN = √156 ≈ 12.49 см

• Ребро NZ: Используем теорему Пифагора, так как угол NCZ = 90°:
• NZ² = NC² + ZC²
• NZ² = 14² + 16²
• NZ² = 196 + 256
• NZ² = 452
• NZ = √452 ≈ 21.26 см

• Ребро LZ: Также применяем теорему косинусов, зная угол ZCL = 45°:
• LZ² = LC² + ZC² - 2 * LC * ZC * cos(45°)
• LZ² = 10² + 16² - 2 * 10 * 16 * (√2/2)
• LZ² = 100 + 256 - 160√2
• LZ ≈ 12.03 см (приблизительно, так как √2 ≈ 1.414)

Таким образом, рёбра основания LNZ имеют следующие значения:

• LN ≈ 12.49 см
• NZ ≈ 21.26 см
• LZ ≈ 12.03 см

2. Площади всех боковых граней тетраэдра:

• Грань CLN: Используем формулу для площади треугольника:
• Площадь = (1/2) * LC * NC * sin(60°)
• Площадь CLN = (1/2) * 10 * 14 * (√3/2) = 35√3 ≈ 60.62 см²

• Грань CNZ: Так как угол NCZ = 90°, площадь будет:
• Площадь = (1/2) * NC * ZC
• Площадь CNZ = (1/2) * 14 * 16 = 112 см²

• Грань ZCL: Используем формулу для площади треугольника:
• Площадь = (1/2) * ZC * LC * sin(45°)
• Площадь ZCL = (1/2) * 16 * 10 * (√2/2) = 40√2 ≈ 56.57 см²

• Грань LNZ: Для этой грани используем формулу Герона. Сначала находим полупериметр:
• s = (LN + NZ + LZ) / 2
• s ≈ (12.49 + 21.26 + 12.03) / 2 ≈ 22.39 см
• Площадь LNZ = √(s * (s - LN) * (s - NZ) * (s - LZ))
• Площадь LNZ ≈ √(22.39 * (22.39 - 12.49) * (22.39 - 21.26) * (22.39 - 12.03)) ≈ 90.51 см²

Таким образом, площади всех боковых граней тетраэдра CLNZ составляют:

• Площадь CLN ≈ 60.62 см²
• Площадь CNZ = 112 см²
• Площадь ZCL ≈ 56.57 см²
• Площадь LNZ ≈ 90.51 см²