В треугольнике ABC, который является прямоугольным и имеет катеты 9 и 12, проведена медиана CK из прямого угла C. Как можно определить расстояние между центрами вписанных окружностей треугольников ACK и BCK?

Геометрия 10 класс Медианы и центры вписанных окружностей треугольника треугольник ABC медиана CK расстояние между центрами вписанные окружности катеты 9 и 12 прямоугольный треугольник геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти расстояние между центрами вписанных окружностей треугольников ACK и BCK, следуем следующим шагам:

1. Найдем длину медианы CK.

В прямоугольном треугольнике ABC, где катеты AC = 9 и BC = 12, медиана CK из угла C делит сторону AB пополам. Сначала найдем длину гипотенузы AB с помощью теоремы Пифагора:

• AB = √(AC² + BC²) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.

Теперь, чтобы найти длину медианы CK, используем формулу для медианы:

• CK = 0.5 * √(2AC² + 2BC² - AB²).
• CK = 0.5 * √(2*9² + 2*12² - 15²) = 0.5 * √(2*81 + 2*144 - 225).
• CK = 0.5 * √(162 + 288 - 225) = 0.5 * √225 = 0.5 * 15 = 7.5.

2. Найдем площади треугольников ACK и BCK.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

• Площадь = 0.5 * основание * высота.

Для треугольника ACK основание AC = 9, а высота CK = 7.5:

• Площадь ACK = 0.5 * 9 * 7.5 = 33.75.

Для треугольника BCK основание BC = 12, а высота CK = 7.5:

• Площадь BCK = 0.5 * 12 * 7.5 = 45.

3. Найдем радиусы вписанных окружностей треугольников ACK и BCK.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

• r = Площадь / Полупериметр.

Сначала найдем полупериметры:

• Для треугольника ACK: a = 9, b = CK = 7.5, c = AK. Сначала найдем AK:
• AK = √(AC² + CK²) = √(9² + 7.5²) = √(81 + 56.25) = √137.25.
• Полупериметр p1 = (9 + 7.5 + √137.25) / 2.

Теперь найдем радиус r1:

• r1 = 33.75 / p1.

Аналогично для треугольника BCK:

• Полупериметр p2 = (12 + 7.5 + √137.25) / 2.
• r2 = 45 / p2.

4. Найдем расстояние между центрами вписанных окружностей.

Расстояние между центрами вписанных окружностей треугольников ACK и BCK можно найти по формуле:

• d = |r1 - r2|.

Теперь, подставив все значения, мы можем найти искомое расстояние d.