В треугольнике ABC угол A в два раза больше угла B. Биссектриса угла A разделяет сторону BC на отрезки BK = 6 и KC = 3. Как можно определить длины сторон треугольника ABC?

Геометрия 10 класс Биссектрисы и свойства треугольников треугольник ABC угол A угол B биссектриса сторона BC отрезки BK отрезок KC длины сторон геометрия задача по геометрии Новый

Для решения задачи начнем с обозначения углов треугольника ABC. Пусть угол B равен x. Тогда угол A будет равен 2x, а угол C можно найти, используя сумму углов треугольника, которая равна 180 градусам:

• Угол C = 180° - A - B = 180° - 2x - x = 180° - 3x.

Теперь воспользуемся свойством биссектрисы. Биссектрисы делят противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. В нашем случае биссектрису угла A делит сторону BC на отрезки BK и KC, где BK = 6 и KC = 3. Это дает нам отношение:

• AB/AC = BK/KC = 6/3 = 2.

Обозначим длину стороны AB как 2k, а длину стороны AC как k. Теперь мы можем выразить стороны треугольника через одну переменную:

• AB = 2k,
• AC = k.

Теперь найдем длину стороны BC. Сторона BC равна сумме отрезков BK и KC:

• BC = BK + KC = 6 + 3 = 9.

Теперь применим теорему синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно постоянной:

• AB/sin(C) = AC/sin(B) = BC/sin(A).

Подставим известные значения:

• AB = 2k, AC = k, BC = 9.

Теперь нам нужно выразить синусы углов через x:

• sin(A) = sin(2x) = 2sin(x)cos(x),
• sin(B) = sin(x),
• sin(C) = sin(180° - 3x) = sin(3x).

Теперь у нас есть следующие равенства:

• 2k/sin(180° - 3x) = k/sin(x) = 9/sin(2x).

Сначала упростим первое равенство:

• 2k/sin(3x) = k/sin(x).

Упростим его:

• 2/sin(3x) = 1/sin(x),
• sin(3x) = 2sin(x).

Теперь применим формулу для синуса тройного угла:

• sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x).
Подставим это в уравнение:
• 3sin(x) - 4sin^3(x) = 2sin(x).

Упрощаем:

• 3sin(x) - 2sin(x) - 4sin^3(x) = 0,
• sin(x)(1 - 4sin^2(x)) = 0.

Это уравнение дает два решения: sin(x) = 0 (что не подходит, так как угол не может быть равен 0) и 1 - 4sin^2(x) = 0. Решим второе уравнение:

• 4sin^2(x) = 1,
• sin^2(x) = 1/4,
• sin(x) = 1/2.

Таким образом, угол B равен 30°. Теперь можем найти угол A:

• Угол A = 2 * 30° = 60°.

Теперь найдем угол C:

• Угол C = 180° - 60° - 30° = 90°.

Теперь мы знаем все углы треугольника ABC:

• Угол A = 60°,
• Угол B = 30°,
• Угол C = 90°.

Теперь можно определить стороны треугольника ABC, используя теорему синусов:

• BC/sin(A) = AB/sin(C) = AC/sin(B).

Подставим известные значения:

• 9/sin(60°) = 2k/sin(90°) = k/sin(30°).

Решим первое равенство:

• 9/(√3/2) = 2k/1,
• 9 * 2/√3 = 2k,
• k = 9√3/6 = 3√3.

Теперь найдем стороны:

• AB = 2k = 2 * 3√3 = 6√3,
• AC = k = 3√3.

Таким образом, длины сторон треугольника ABC:

• AB = 6√3,
• AC = 3√3,
• BC = 9.
1 2 3 4 5