Для решения данной задачи необходимо использовать некоторые свойства треугольников и трапеций, а также формулы для вычисления площадей.

Обозначим:

• S - площадь треугольника ABC;
• S_trap - площадь трапеции AMKС;
• h - высота треугольника ABC, проведенная из вершины B на основание AC;
• h_1 - высота отрезка MK, проведенная из точки M на основание AC.
• MK - длина отрезка, который мы ищем.

Согласно условию задачи, площадь трапеции составляет 8/9 от площади треугольника:

S_trap = 8/9 * S.

Площадь треугольника ABC можно выразить через основание AC и высоту h:

S = (1/2) * AC * h = (1/2) * 18 * h = 9h.

Подставим это значение в формулу для площади трапеции:

S_trap = 8/9 * 9h = 8h.

Площадь трапеции можно также выразить через длины ее оснований и высоту:

S_trap = (1/2) * (AC + MK) * h_1.

Поскольку отрезок MK параллелен основанию AC, высота h_1 и h связаны между собой. Если h_1 - это высота трапеции, то она будет составлять часть высоты h треугольника. Обозначим отношение высот:

h_1 = k * h, где k - это коэффициент, который зависит от расположения отрезка MK.

Таким образом, подставим h_1 в формулу площади трапеции:

S_trap = (1/2) * (18 + MK) * (k * h).

Теперь у нас есть два выражения для площади трапеции:

• 8h = (1/2) * (18 + MK) * (k * h).

Сократим на h (при условии, что h не равно 0):

8 = (1/2) * (18 + MK) * k.

Умножим обе стороны на 2:

16 = (18 + MK) * k.

Теперь выразим MK:

MK = (16/k) - 18.

Чтобы определить значение k, воспользуемся свойством подобия треугольников. Поскольку MK параллелен основанию AC, треугольники AMK и ABC подобны.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их соответствующих сторон:

(S_trap/S) = (h_1/h)^2 = (k)^2.

Мы знаем, что S_trap/S = 8/9, следовательно:

k^2 = 8/9.

Извлекаем корень:

k = √(8/9) = 2√2/3.

Теперь подставим значение k в выражение для MK:

MK = (16/(2√2/3)) - 18.

Умножим на 3/2:

MK = (16 * 3)/(2 * 2) - 18 = 24 - 18 = 6.

Таким образом, длина отрезка MK составляет 6 см.