В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ, где точка М находится на стороне ВС. Даны следующие данные: длина отрезка ВМ равна 3, длина отрезка МС равна 7, а угол ВАС равен 60 градусам. Как можно вычислить площадь треугольника АВС?

Геометрия 10 класс Биссектрисы и площади треугольников площадь треугольника биссектрисы треугольника треугольник АВС длины отрезков угол ВАС формула площади треугольника геометрия 10 класс задачи по геометрии Новый

Для вычисления площади треугольника АВС, в котором проведена биссектриса АМ, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника через две стороны и угол между ними. В данном случае нам нужно найти сторону АВ и сторону АС, используя данные о длинах отрезков БМ и МС, а также угол ВАС.

Дано:

• ВМ = 3
• МС = 7
• Угол ВАС = 60 градусов

Сначала найдем длину стороны ВС:

• Длина стороны ВС = ВМ + МС = 3 + 7 = 10.

Теперь, воспользуемся свойством биссектрисы. По теореме о биссектрисе, отношение сторон, на которые делит биссектрису, равно отношению отрезков, на которые она делит противоположную сторону:

• AB / AC = BM / MC = 3 / 7.

Обозначим:

• AB = 3k,
• AC = 7k,

где k - некоторый коэффициент пропорциональности. Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника AВС можно вычислить по формуле:

Площадь = 1/2 * AB * AC * sin(угол BAC).

Подставим известные значения:

• Площадь = 1/2 * (3k) * (7k) * sin(60°).

Зная, что sin(60°) = √3/2, получаем:

• Площадь = 1/2 * (3k) * (7k) * (√3/2) = (21k^2√3)/4.

Теперь нужно найти k. Для этого воспользуемся формулой для нахождения k через сторону BC:

• BC = 10 = 3k + 7k = 10k.

Отсюда:

• k = 1.

Теперь подставляем значение k в формулу для площади:

• Площадь = (21 * 1^2 * √3) / 4 = 21√3 / 4.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 21√3 / 4 квадратных единиц.