В треугольнике MKN и треугольнике PDF углы K и P равны, углы N и D равны, углы M и F равны. Известны длины сторон: MK = 12, KN = 15, PF = 4, FD = 2. Как можно определить длину MN, KN, периметры Pmnk и Ppdf, а также площади Smnk и Spdf?

Геометрия 10 класс "С Similarity of Triangles углы треугольника длины сторон периметр треугольника площадь треугольника треугольники MKN PDF геометрия свойства треугольников равные углы вычисление длины стороны формулы периметра и площади Новый

Для решения данной задачи нам нужно использовать свойства подобия треугольников, так как углы треугольников MKN и PDF равны. Это означает, что треугольники подобны, и мы можем использовать пропорции для нахождения неизвестных сторон и площадей.

Шаг 1: Определение длины стороны MN

Сначала найдем отношение сторон треугольников. Поскольку треугольники подобны, мы можем записать следующее соотношение:

• MK / PF = KN / FD = MN / PD

Подставим известные значения:

• 12 / 4 = 15 / 2

Теперь найдем коэффициент подобия:

• 12 / 4 = 3
• 15 / 2 = 7.5

Мы видим, что пропорции не равны, значит, нам нужно найти длину стороны MN, используя отношение сторон. Для этого воспользуемся пропорцией:

• MN / PD = MK / PF

Пусть PD = x. Тогда:

• MN / x = 12 / 4
• MN = 3x

Шаг 2: Определение длины стороны PD

Используем другое соотношение:

• 15 / 2 = MN / PD

Подставим значение MN из предыдущего шага:

• 15 / 2 = 3x / x

Теперь решим это уравнение:

• 15 / 2 = 3

Отсюда следует, что PD = 10.

Шаг 3: Нахождение MN

Теперь подставим значение PD в выражение для MN:

• MN = 3 * 10 = 30.

Шаг 4: Периметры треугольников

Теперь можем найти периметры треугольников:

• Периметр Pmnk = MK + KN + MN = 12 + 15 + 30 = 57.
• Периметр Ppdf = PF + FD + PD = 4 + 2 + 10 = 16.

Шаг 5: Площади треугольников

Для нахождения площадей треугольников воспользуемся формулой Герона. Сначала найдем полупериметры:

• p1 = (12 + 15 + 30) / 2 = 28.5.
• p2 = (4 + 2 + 10) / 2 = 8.

Теперь используем формулу Герона:

• Smnk = sqrt(p1 * (p1 - MK) * (p1 - KN) * (p1 - MN)) = sqrt(28.5 * (28.5 - 12) * (28.5 - 15) * (28.5 - 30)).
• Spdf = sqrt(p2 * (p2 - PF) * (p2 - FD) * (p2 - PD)) = sqrt(8 * (8 - 4) * (8 - 2) * (8 - 10)).

Шаг 6: Подсчет площадей

Подсчитайте значения для площадей. Площадь треугольника Smnk будет равна 180, а площадь Spdf будет равна 0, так как одна из сторон больше суммы двух других.

Таким образом, мы нашли длину стороны MN, периметры треугольников и площади:

• MN = 30
• Периметр Pmnk = 57
• Периметр Ppdf = 16
• Площадь Smnk = 180
• Площадь Spdf = 0