В треугольнике углы находятся в отношении 1:2:3, а его площадь составляет 18√3 см². Какова длина самой длинной стороны этого треугольника?

Геометрия 10 класс Углы и стороны треугольника углы треугольника отношение углов площадь треугольника длина стороны треугольника геометрия 10 класс Новый

Для решения задачи начнем с определения углов треугольника. Углы находятся в отношении 1:2:3. Обозначим углы как:

• A = x
• B = 2x
• C = 3x

Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому мы можем записать уравнение:

A + B + C = 180

x + 2x + 3x = 180

6x = 180

x = 30

Теперь мы можем найти углы:

• A = 30 градусов
• B = 60 градусов
• C = 90 градусов

Таким образом, наш треугольник является прямоугольным треугольником с углом C равным 90 градусам.

Площадь треугольника равна 18√3 см². Для прямоугольного треугольника площадь вычисляется по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота

В нашем случае основание и высота будут сторонами, образующими прямой угол. Обозначим их как a и b, тогда:

(1/2) * a * b = 18√3

Следовательно:

a * b = 36√3

Теперь воспользуемся соотношениями в прямоугольном треугольнике. Для треугольника с углами 30°, 60° и 90° стороны находятся в отношении:

• Противолежащая сторона углу 30° (a) = x
• Противолежащая сторона углу 60° (b) = x√3
• Гипотенуза (c) = 2x

Теперь подставим a и b в уравнение:

x * (x√3) = 36√3

x²√3 = 36√3

Теперь разделим обе стороны на √3:

x² = 36

x = 6

Теперь можем найти длины сторон:

• a = x = 6 см
• b = x√3 = 6√3 см
• c = 2x = 12 см

Таким образом, длина самой длинной стороны (гипотенузы) треугольника составляет:

12 см