Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним о свойствах треугольников и о неравенствах треугольника.

В треугольнике сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где a = 6 и b = 8. Третью сторону обозначим как c.

Согласно неравенству треугольника, для сторон a, b и c выполняются следующие условия:

• a + b > c
• a + c > b
• b + c > a

Подставим значения a и b в эти неравенства:

1. 6 + 8 > c, что упрощается до 14 > c, или c < 14.
2. 6 + c > 8, что упрощается до c > 2.
3. 8 + c > 6, что всегда верно, так как c всегда положительно.

Таким образом, мы имеем два основных условия для длины третьей стороны c:

• c < 14
• c > 2

Теперь нам нужно учесть, что треугольник является тупоугольным. Для того чтобы треугольник был тупоугольным, необходимо, чтобы квадрат длины самой длинной стороны был больше суммы квадратов длин двух других сторон.

Предположим, что c - это самая длинная сторона (т.е. c > 8). В этом случае должно выполняться следующее неравенство:

c^2 > 6^2 + 8^2

Подсчитаем:

6^2 = 36 и 8^2 = 64, тогда 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.

Таким образом, мы получаем:

c^2 > 100, что означает, что c > 10.

Теперь у нас есть три условия для c:

• c > 10
• c < 14
• c > 2 (это условие уже выполнено, так как c > 10)

Теперь определим возможные целые значения для c:

Так как c должно быть больше 10 и меньше 14, возможные целые значения для c это 11, 12 и 13.

Теперь найдем сумму всех возможных целых значений:

11 + 12 + 13 = 36.

Ответ: Сумма всех возможных целых значений длины третьей стороны этого треугольника равна 36.