В заданном кубе ABCDA1B1C1D1, учитывая, что все грани куба представляют собой квадраты, как можно доказать, что отрезок ВB1 перпендикулярен плоскости (ABC)?

Геометрия 10 класс Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве куб геометрия перпендикулярность отрезок плоскость доказательство грани куба свойства куба Новый

Чтобы доказать, что отрезок BB1 перпендикулярен плоскости ABC в кубе ABCDA1B1C1D1, давайте сначала определим, что такое плоскость ABC и отрезок BB1.

Куб имеет следующие вершины:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь определим плоскость ABC. Плоскость ABC образована тремя точками:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)

Чтобы найти нормальный вектор к плоскости ABC, мы можем использовать векторы AB и AC:

• Вектор AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
• Вектор AC = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить нормальный вектор к плоскости ABC:

• n = AB × AC = |i j k|
• |1 0 0|
• |1 1 0|

Вычисляя это, мы получаем:

• n = (0, 0, 1)

Теперь рассмотрим отрезок BB1. Вектор BB1 определяется как:

• BB1 = B1 - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1)

Теперь мы можем проверить, перпендикулярен ли вектор BB1 нормальному вектору n. Для этого мы используем скалярное произведение:

• n • BB1 = (0, 0, 1) • (0, 0, 1) = 0 * 0 + 0 * 0 + 1 * 1 = 1

Поскольку скалярное произведение не равно нулю, это подтверждает, что вектор BB1 перпендикулярен нормальному вектору плоскости ABC.

Таким образом, мы можем заключить, что отрезок BB1 перпендикулярен плоскости ABC.