2024-06-21 18:25:06
Докажите, что в пирамиду, у которой двугранные углы при основании равны, всегда можно вписать сферу.
Геометрия 10 класс Сфера и пирамида. - пирамида - двугранные углы - сфера.
2024-06-21 18:25:17
Доказательство:
Пусть $SABCD$ — пирамида, у которой двугранные углы при основании равны. Тогда основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту пирамиды и центр окружности, вписанной в её основание. Получим равнобедренный треугольник $ASO$, где $SO$ — высота пирамиды, $AO$ — радиус окружности, вписанный в основание пирамиды, а $SA$ — боковое ребро пирамиды.
Так как все двугранные углы при основании пирамиды равны, то треугольник $ASO$ является равносторонним. Следовательно, высота пирамиды $SO$ является биссектрисой, медианой и высотой этого треугольника.
Таким образом, точка $O$ (центр окружности, вписанной в основание) является серединой отрезка $SA$. Это означает, что сфера с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ будет касаться всех боковых рёбер пирамиды в точках $A$, $B$, $C$ и $D$.
Следовательно, сфера вписана в пирамиду. Что и требовалось доказать.
