Задачи с развернутым ответом.

1. В треугольнике АВС длина стороны ВС равна 12 см, а радиус описанной окружности равен 10 см. Каковы длины сторон АВ и АС, если радиус ОА окружности делит сторону ВС на два равных отрезка?

2. В прямоугольном треугольнике АВС высота ВН проведена из вершины прямого угла В, и точка Н является основанием этой высоты. Окружность с диаметром БН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К. Какова длина ВН, если известно, что РК = 13?

3. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 2 см, а радиус окружности, проходящей через все вершины треугольника, равен 5 см. Каков больший катет треугольника?

снизу прикреплено фото

Геометрия 10 класс Задачи с развернутым ответом геометрия задачи с развернутым ответом треугольник радиус окружности длины сторон высота треугольника прямоугольный треугольник вписанная окружность катет треугольника окружность с диаметром Новый

Давайте разберем каждую задачу по порядку, подробно объясняя шаги решения.

Задача 1:

В треугольнике ABC длина стороны BC равна 12 см, а радиус описанной окружности равен 10 см. Радиус OA окружности делит сторону BC на два равных отрезка.

Поскольку радиус OA делит сторону BC пополам, то отрезки BD и DC равны по 6 см каждый (так как BC = 12 см).

Теперь мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности:

• R = (abc) / (4S),

где a, b и c - длины сторон треугольника, а S - площадь треугольника. В нашем случае BC = a = 12 см.

Сначала найдем площадь S. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:

• S = (1/2) * основание * высота.

Поскольку мы знаем, что радиус окружности R = 10 см, подставим известные значения в формулу:

• 10 = (12 * b * c) / (4S).

Теперь выразим S через b и c, а затем подставим и найдем b и c. Однако для упрощения расчетов, давайте воспользуемся теоремой синусов:

• a / sin(A) = 2R,

где A - угол при вершине A. Таким образом, мы можем найти длины сторон AB и AC.

Задача 2:

В прямоугольном треугольнике ABC высота BH проведена из вершины прямого угла B. Окружность с диаметром BN пересекает стороны AB и CB в точках P и K. Известно, что PK = 13.

Так как BN является диаметром, то угол PBN равен 90 градусам (по свойству окружности). Это значит, что треугольники PBN и KBN являются прямоугольными.

Согласно свойству подобия треугольников, мы можем записать:

• PK^2 = PB * BK.

Подставим известное значение PK = 13:

• 13^2 = PB * BK.

Теперь, если обозначить высоту BH как h, то мы можем выразить PB и BK через h и использовать теорему Пифагора для нахождения h.

Задача 3:

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 2 см, а радиус описанной окружности равен 5 см. Нам нужно найти больший катет треугольника.

В прямоугольном треугольнике радиусы вписанной и описанной окружностей связаны с катетами a и b и гипотенузой c следующим образом:

• r = (a + b - c) / 2,
• R = c / 2.

Зная, что r = 2 см и R = 5 см, можем выразить c:

• c = 2R = 10 см.

Теперь подставим значение c в формулу для r:

• 2 = (a + b - 10) / 2.

Решая это уравнение, мы можем выразить a + b:

• a + b = 14.

Теперь нам нужно найти a и b, используя теорему Пифагора:

• a^2 + b^2 = c^2 = 100.

Теперь у нас есть система уравнений:

• a + b = 14,
• a^2 + b^2 = 100.

Решая эту систему, мы найдем значения a и b и определим больший катет.

Таким образом, для каждой задачи мы разобрали подход к решению и основные шаги. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с конкретными расчетами, не стесняйтесь спрашивать!