1. Как можно вычислить площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, если боковое ребро составляет 12 см и образует угол 60 градусов с плоскостью основания?

2. Как можно найти площадь полной поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды, если стороны оснований равны 4 и 2, а боковое ребро равно 2?

Геометрия 11 класс Площадь поверхности пирамид площадь полной поверхности правильная четырехугольная пирамида боковое ребро угол 60 градусов правильная треугольная усечённая пирамида стороны оснований геометрия 11 класс Новый

Давайте разберём оба вопроса по порядку.

1. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды

Для начала, вспомним, что правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание и четыре треугольные боковые грани. Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно сложить площадь основания и площадь боковых граней.

1. Найти площадь основания:
   • Если основание квадратное, то его площадь S основание = a^2, где a - длина стороны квадрата.
2. Найти высоту боковой грани:
   • Боковое ребро образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Это значит, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты h боковой грани.
   • h = b * sin(60°), где b - длина бокового ребра (12 см). Значит, h = 12 * (√3/2) = 6√3 см.
3. Найти площадь одной боковой грани:
   • Площадь треугольной грани S боковой = (1/2) * a * h, где a - основание треугольника (равно стороне квадрата), h - высота, которую мы нашли.
   • Чтобы найти a, используем cos(60°) = a / b, отсюда a = b * cos(60°) = 12 * (1/2) = 6 см.
   • Теперь можем найти площадь одной боковой грани: S боковой = (1/2) * 6 * 6√3 = 18√3 см².
4. Найти общую площадь боковых граней:
   • Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней S боковые = 4 * S боковой = 4 * 18√3 = 72√3 см².
5. Найти полную площадь поверхности:
   • Теперь, складываем площадь основания и площадь боковых граней: S полная = S основание + S боковые = 36 + 72√3 см².

Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды составляет 36 + 72√3 см².

2. Площадь полной поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды

Правильная треугольная усечённая пирамида имеет два параллельных треугольных основания и боковые грани, которые являются трапециями. Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно сложить площади обоих оснований и площади боковых граней.

1. Найти площадь оснований:
   • Площадь треугольника можно найти по формуле: S = (1/2) * a * h, где a - длина стороны основания, h - высота треугольника.
   • Для треугольника со стороной 4 см, высота h1 = (√3/2) * 4 = 2√3 см, тогда S1 = (1/2) * 4 * 2√3 = 4√3 см².
   • Для треугольника со стороной 2 см, высота h2 = (√3/2) * 2 = √3 см, тогда S2 = (1/2) * 2 * √3 = √3 см².
2. Найти площадь боковых граней:
   • Площадь боковой грани (трапеции) можно найти по формуле: S = (1/2) * (a + b) * h, где a и b - основания трапеции, h - высота.
   • В данном случае a = 4 см, b = 2 см, а высота бокового ребра равна 2 см. Высота трапеции можно найти, используя теорему Пифагора, если обозначить её как h боковая.
   • h боковая = √(2² - ((4 - 2)/2)²) = √(4 - 1) = √3 см.
   • Теперь можем найти площадь одной боковой грани: S боковая = (1/2) * (4 + 2) * √3 = 3√3 см².
3. Найти общую площадь боковых граней:
   • У нас 3 боковые грани, значит, общая площадь боковых граней S боковые = 3 * S боковая = 3 * 3√3 = 9√3 см².
4. Найти полную площадь поверхности:
   • Складываем площади оснований и боковых граней: S полная = S1 + S2 + S боковые = 4√3 + √3 + 9√3 = 14√3 см².

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды составляет 14√3 см².