1) Как найти длину вектора АВ, если известны координаты точек А(-5;4) и В(3;-2)?

2) Как в треугольнике с вершинами в точках А(-2;7), В(2;1) и С(-7;-5) определить косинус угла В?

3) Как вычислить скалярное произведение векторов а(-2;3) и в(4;-2)?

4) Если длины векторов а и б равны 12 и 7, а угол между ними 60 градусов, как найти их скалярное произведение?

5) Какое расстояние между точками М(6;-8) и К(-2;7)?

6) Если вектора а и в перпендикулярны, как найти значение числа р, если а(-5;р), в(4;-10)?

7) Как определить угол между векторами в(4;-7) и а(-14;-8)?

8) Как вычислить длину вектора а=(-2р+3с)-(-4р+2с), если даны координаты векторов р(-1;2) и с(2;-3)?

Геометрия 11 класс Векторы и координатная геометрия длина вектора косинус угла треугольника скалярное произведение векторов расстояние между точками угол между векторами координаты точек перпендикулярные векторы длина вектора по координатам

1) Как найти длину вектора АВ?

Чтобы найти длину вектора АВ, нужно воспользоваться формулой для вычисления расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Если у нас есть точки А(x1; y1) и В(x2; y2), то длина вектора АВ вычисляется по формуле:

длина(АВ) = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Подставим координаты точек А(-5; 4) и В(3; -2):

• x1 = -5, y1 = 4
• x2 = 3, y2 = -2

Теперь вычислим:

• (x2 - x1) = (3 - (-5)) = 3 + 5 = 8
• (y2 - y1) = (-2 - 4) = -6

Теперь подставим в формулу:

длина(АВ) = √(8² + (-6)²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

Таким образом, длина вектора АВ равна 10.

2) Как определить косинус угла В в треугольнике ABC?

Для нахождения косинуса угла В, можно воспользоваться формулой:

cos(B) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC),

где AB, BC и AC - длины сторон треугольника. Сначала найдем длины сторон:

• AB = √((2 - (-2))² + (1 - 7)²) = √(4² + (-6)²) = √(16 + 36) = √52.
• BC = √((-7 - 2)² + (-5 - 1)²) = √((-9)² + (-6)²) = √(81 + 36) = √117.
• AC = √((-7 - (-2))² + (-5 - 7)²) = √((-5)² + (-12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Теперь подставим в формулу:

cos(B) = (√52² + √117² - 13²) / (2 * √52 * √117).

После вычислений получим значение косинуса угла B.

3) Как вычислить скалярное произведение векторов а и в?

Скалярное произведение векторов a(x1; y1) и b(x2; y2) вычисляется по формуле:

a · b = x1 * x2 + y1 * y2.

Подставим координаты векторов a(-2; 3) и b(4; -2):

• a · b = (-2) * 4 + 3 * (-2) = -8 - 6 = -14.

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно -14.

4) Как найти скалярное произведение векторов a и b, если длины векторов равны 12 и 7, а угол между ними 60 градусов?

Скалярное произведение векторов можно также вычислить по формуле:

a · b = |a| * |b| * cos(угол).

Подставим значения:

• |a| = 12, |b| = 7, cos(60°) = 0.5.

Тогда:

a · b = 12 * 7 * 0.5 = 42.

Таким образом, скалярное произведение равно 42.

5) Какое расстояние между точками М(6; -8) и К(-2; 7)?

Используем ту же формулу для расстояния между двумя точками:

длина(MK) = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Подставим координаты точек М(6; -8) и К(-2; 7):

• x1 = 6, y1 = -8
• x2 = -2, y2 = 7

Вычислим:

• (x2 - x1) = (-2 - 6) = -8
• (y2 - y1) = (7 - (-8)) = 15

Теперь подставим в формулу:

длина(MK) = √((-8)² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17.

Таким образом, расстояние между точками М и К равно 17.

6) Как найти значение числа р, если вектора а и в перпендикулярны?

Если вектора a и b перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

a · b = 0.

Для векторов a(-5; p) и b(4; -10) скалярное произведение вычисляется так:

a · b = (-5) * 4 + p * (-10) = -20 - 10p.

Приравняем к нулю:

-20 - 10p = 0.

Решим уравнение:

-10p = 20, p = -2.

Таким образом, значение p равно -2.

7) Как определить угол между векторами v(4; -7) и a(-14; -8)?

Для нахождения угла между векторами используем формулу:

cos(угол) = (v · a) / (|v| * |a|).

Сначала найдем скалярное произведение v и a:

v · a = 4 * (-14) + (-7) * (-8) = -56 + 56 = 0.

Теперь найдем длины векторов:

• |v| = √(4² + (-7)²) = √(16 + 49) = √65.
• |a| = √((-14)² + (-8)²) = √(196 + 64) = √260.

Теперь подставим в формулу:

cos(угол) = 0 / (√65 * √260) = 0.

Это означает, что угол между векторами равен 90 градусов.

8) Как вычислить длину вектора a=(-2p+3c)-(-4p+2c)?

Сначала упростим вектор a:

a = (-2p + 3c) - (-4p + 2c) = -2p + 3c + 4p - 2c = (4p - 2p) + (3c - 2c) = 2p + c.

Теперь подставим координаты векторов p(-1; 2) и c(2; -3):

• a = 2 * (-1; 2) + (2; -3) = (-2; 4) + (2; -3) = (0; 1).

Теперь найдем длину вектора a:

длина(a) = √(0² + 1²) = √1 = 1.

Таким образом, длина вектора a равна 1.

Привет! Давай разберёмся с твоими вопросами по векторной геометрии!

1) Как найти длину вектора АВ?

Длину вектора можно найти по формуле:

• Длина АВ = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²),

где (x1, y1) - координаты точки А, а (x2, y2) - координаты точки В. Подставляем:

• Длина АВ = √((3 - (-5))² + (-2 - 4)²) = √((3 + 5)² + (-6)²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

2) Как определить косинус угла В в треугольнике ABC?

Для этого используем формулу:

• cos(B) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC),

Сначала находим длины сторон, используя координаты точек. Подсчитай длины AB, BC и AC, а потом подставь их в формулу.

3) Как вычислить скалярное произведение векторов а и в?

Скалярное произведение можно найти так:

• а • в = x1 * x2 + y1 * y2,

где (x1, y1) - координаты вектора а, а (x2, y2) - координаты вектора в. Подставляем:

• а • в = (-2) * 4 + 3 * (-2) = -8 - 6 = -14.

4) Как найти скалярное произведение векторов а и б, если известны их длины и угол?

Используем формулу:

• скалярное произведение = |а| * |б| * cos(угол).

Подставляем значения:

• скалярное произведение = 12 * 7 * cos(60°) = 12 * 7 * 0.5 = 42.

5) Какое расстояние между точками М и К?

Используем ту же формулу для расстояния:

• Расстояние = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Подставляем:

• Расстояние = √((-2 - 6)² + (7 - (-8))²) = √((-8)² + (15)²) = √(64 + 225) = √289 = 17.

6) Как найти значение р, если вектора а и в перпендикулярны?

Если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0:

• а • в = (-5) * 4 + р * (-10) = 0.

Решаем уравнение:

• -20 + (-10)р = 0 => -10р = 20 => р = -2.

7) Как определить угол между векторами в и а?

Используем формулу:

• cos(угол) = (в • а) / (|в| * |а|).

Сначала вычисли скалярное произведение в • а и длины векторов, а потом подставь в формулу.

8) Как вычислить длину вектора а?

Сначала найди координаты вектора а:

• а = (-2р + 3с) - (-4р + 2с) = (2р + с).

Теперь подставь р и с:

• р = (-1; 2), с = (2; -3):
• а = (2 * (-1) + 2; 2 * 3 - 3) = (-2 + 2; 6 - 3) = (0; 3).

Теперь найди длину:

• Длина а = √(0² + 3²) = √9 = 3.

Надеюсь, это поможет! Если что-то непонятно, спрашивай!