Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается как [a, b, c] и вычисляется с помощью формулы, которая включает векторное и скалярное произведение. Давайте рассмотрим оба ваших вопроса по порядку.

Шаги для вычисления:

1. Сначала находим векторное произведение векторов b и c:
• Векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве можно вычислить по формуле:
• bc = (b2 * c3 - b3 * c2, b3 * c1 - b1 * c3, b1 * c2 - b2 * c1).
• Подставим значения: b = (-1, 0, 2) и c = (-1, 0, -1):
• bc = (0 * -1 - 2 * 0, 2 * -1 - (-1) * -1, -1 * 0 - 0 * -1) = (0, -2 - 1, 0) = (0, -3, 0).
2. Теперь находим скалярное произведение вектора a и результата векторного произведения bc:
• Скалярное произведение вычисляется по формуле:
• a * (bc) = a1 * (bc1) + a2 * (bc2) + a3 * (bc3).
• Подставим значения: a = (3, 0, 1) и bc = (0, -3, 0):
• a * (bc) = 3 * 0 + 0 * -3 + 1 * 0 = 0.

Таким образом, смешанное произведение [a, b, c] равно 0.

Для начала найдем векторы AB, BC и AC:

1. Вектор AB = B - A = (2 - 3, 0 - 2, 1 - 1) = (-1, -2, 0).
2. Вектор BC = C - B = (1 - 2, 0 - 0, 2 - 1) = (-1, 0, 1).
3. Вектор AC = C - A = (1 - 3, 0 - 2, 2 - 1) = (-2, -2, 1).

Теперь вычислим смешанное произведение [AB, BC, AC]:

1. Сначала найдем векторное произведение векторов BC и AC:
• bc = (b2 * c3 - b3 * c2, b3 * c1 - b1 * c3, b1 * c2 - b2 * c1).
• Подставим значения: BC = (-1, 0, 1) и AC = (-2, -2, 1):
• bc = (0 * 1 - 1 * -2, 1 * -2 - (-1) * 1, -1 * -2 - 0 * -2) = (0 + 2, -2 + 1, 2 - 0) = (2, -1, 2).
2. Теперь находим скалярное произведение вектора AB и результата векторного произведения bc:
• a * (bc) = a1 * (bc1) + a2 * (bc2) + a3 * (bc3).
• Подставим значения: AB = (-1, -2, 0) и bc = (2, -1, 2):
• a * (bc) = -1 * 2 + -2 * -1 + 0 * 2 = -2 + 2 + 0 = 0.

Таким образом, смешанное произведение [AB, BC, AC] равно 0.