1. Какое расстояние между плоскостями, заданными уравнениями 2x-y+2z-1=0 и 2x-y+2z+14=0?

2. Если вращать прямоугольник вокруг неравных сторон, то получаются цилиндры с площадями полных поверхностей S1 и S2. Как можно найти отношение объёмов этих цилиндров?

П.С. Обе задачи желательно с рисунком и подробным решением. :)

Геометрия 11 класс Расстояние между плоскостями и объемы цилиндров расстояние между плоскостями уравнения плоскостей цилиндры объём отношение объёмов цилиндров геометрия 11 класс Новый

Задача 1: Расстояние между плоскостями

Мы имеем две плоскости, заданные уравнениями:

• Плоскость 1: 2x - y + 2z - 1 = 0
• Плоскость 2: 2x - y + 2z + 14 = 0

Чтобы найти расстояние между этими плоскостями, нужно помнить, что они параллельны, так как у них одинаковые коэффициенты при x, y и z. Расстояние между двумя параллельными плоскостями можно найти по формуле:

d = |D1 - D2| / √(A^2 + B^2 + C^2)

где D1 и D2 - свободные члены уравнений плоскостей, а A, B, C - коэффициенты при x, y и z соответственно.

Теперь выполним следующие шаги:

1. Извлечем коэффициенты:
• A = 2
• B = -1
• C = 2
2. Найдём свободные члены:
• D1 = -1
• D2 = 14
3. Подставим значения в формулу:
• d = |(-1) - 14| / √(2^2 + (-1)^2 + 2^2)
• d = | -15 | / √(4 + 1 + 4)
• d = 15 / √9
• d = 15 / 3
• d = 5

Ответ: расстояние между плоскостями равно 5.

Задача 2: Отношение объёмов цилиндров

Рассмотрим прямоугольник со сторонами a и b, где a - одна сторона, а b - другая сторона. Если вращать прямоугольник вокруг стороны a, то получим цилиндр с высотой a и радиусом b/2. Если вращать вокруг стороны b, то получим цилиндр с высотой b и радиусом a/2.

Формула для объёма цилиндра:

V = πr^2h

Теперь найдем объёмы обоих цилиндров:

1. Объём первого цилиндра (V1):
• Радиус = b/2
• Высота = a
• V1 = π(b/2)^2 * a = π(b^2/4) * a = (πab^2) / 4
2. Объём второго цилиндра (V2):
• Радиус = a/2
• Высота = b
• V2 = π(a/2)^2 * b = π(a^2/4) * b = (πa^2b) / 4
3. Теперь найдем отношение объёмов V1 к V2:
• Отношение = V1 / V2 = ((πab^2) / 4) / ((πa^2b) / 4) = (ab^2) / (a^2b) = b / a

Ответ: отношение объёмов цилиндров равно b/a.