1. Какое уравнение сферы можно получить, если точка А(4:-2:3) лежит на сфере с центром в точке С(2:-3:-1)?
2. Как можно вычислить площадь области, ограниченной кривыми y=х^2+2 и y=4-x?

Геометрия 11 класс 1. Уравнение сферы 2. Площадь фигуры, ограниченной кривыми уравнение сферы точка А точка С площадь области кривые y=х^2+2 кривые y=4-x геометрия 11 класс задачи по геометрии нахождение площади координаты точек Новый

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

1. Уравнение сферы

Уравнение сферы в трехмерном пространстве можно записать в следующем виде:

(x - x0)² + (y - y0)² + (z - z0)² = R²,

где (x0, y0, z0) - координаты центра сферы, а R - радиус сферы.

В нашем случае, центр сферы C имеет координаты (2, -3, -1), а точка A (4, -2, 3) лежит на сфере. Чтобы найти радиус R, мы можем воспользоваться расстоянием между точкой A и центром C. Это расстояние и будет радиусом сферы.

Сначала найдем координаты вектора, соединяющего точки C и A:

• Δx = 4 - 2 = 2,
• Δy = -2 - (-3) = 1,
• Δz = 3 - (-1) = 4.

Теперь вычислим длину этого вектора, которая равна радиусу R:

R = √(Δx² + Δy² + Δz²) = √(2² + 1² + 4²) = √(4 + 1 + 16) = √21.

Теперь подставим значения в уравнение сферы:

(x - 2)² + (y + 3)² + (z + 1)² = (√21)².

Таким образом, уравнение сферы будет:

(x - 2)² + (y + 3)² + (z + 1)² = 21.

2. Площадь области, ограниченной кривыми

Чтобы вычислить площадь области, ограниченной кривыми y = x² + 2 и y = 4 - x, нам нужно сначала найти точки их пересечения. Для этого мы приравняем обе функции:

x² + 2 = 4 - x.

Переносим все в одну сторону:

x² + x - 2 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

Теперь находим корни:

x1 = (-b + √D) / 2a = (-1 + 3) / 2 = 1,

x2 = (-b - √D) / 2a = (-1 - 3) / 2 = -2.

Теперь у нас есть точки пересечения: x = -2 и x = 1. Теперь мы можем найти соответствующие значения y:

• При x = -2: y = (-2)² + 2 = 4 + 2 = 6,
• При x = 1: y = 1² + 2 = 1 + 2 = 3.

Теперь мы можем вычислить площадь области между кривыми, используя интегралы:

Площадь S = ∫ от -2 до 1 (верхняя функция - нижняя функция) dx.

В данном случае верхней функцией является y = 4 - x, а нижней - y = x² + 2.

Таким образом, площадь будет равна:

S = ∫ от -2 до 1 ((4 - x) - (x² + 2)) dx = ∫ от -2 до 1 (2 - x - x²) dx.

Теперь вычисляем интеграл:

S = [2x - (x²/2) - (x³/3)] от -2 до 1.

Подставляем пределы:

S = (2*1 - (1²/2) - (1³/3)) - (2*(-2) - ((-2)²/2) - ((-2)³/3)).

После вычислений мы получим площадь области, ограниченной этими кривыми.

Надеюсь, это поможет вам понять, как решать подобные задачи!