1) Пусть функция y=f(x) для всех ненулевых значений аргумента удовлетворяет условию f(x)+2f(4/x)=x-(5/x). Каково значение f(1)?

 

2) Постройте график функции f(x)=x|5-x|-1 и определите, в каких пределах изменяется значение функции на отрезке [-2;6].

Геометрия 11 класс Функции и графики геометрия 11 класс задачи по геометрии функции график функции значение функции математический анализ решение уравнений алгебраические выражения исследование функций пределы функции Новый

1) Решение уравнения для функции f(x):

Дано уравнение:

f(x) + 2f(4/x) = x - (5/x)

Чтобы найти значение f(1), подставим x = 1:

f(1) + 2f(4/1) = 1 - (5/1)

f(1) + 2f(4) = 1 - 5

f(1) + 2f(4) = -4

Теперь подставим x = 4:

f(4) + 2f(4/4) = 4 - (5/4)

f(4) + 2f(1) = 4 - 1.25

f(4) + 2f(1) = 2.75

Теперь у нас есть система уравнений:

1. f(1) + 2f(4) = -4
2. f(4) + 2f(1) = 2.75

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим f(4):

2f(4) = -4 - f(1)

f(4) = (-4 - f(1)) / 2

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

(-4 - f(1)) / 2 + 2f(1) = 2.75

Умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби:

-4 - f(1) + 4f(1) = 5.5

3f(1) = 5.5 + 4

3f(1) = 9.5

f(1) = 9.5 / 3

f(1) = 3.1667

Ответ: f(1) = 3.1667

2) Построение графика функции f(x) = x|5 - x| - 1:

Для построения графика функции f(x) = x|5 - x| - 1, сначала нужно определить, как функция ведет себя в разных диапазонах x.

Разделим функцию на два случая в зависимости от значения x:

• Когда x < 5: |5 - x| = 5 - x
• Когда x >= 5: |5 - x| = x - 5

Теперь запишем функцию для каждого случая:

1. Если x < 5: f(x) = x(5 - x) - 1 = 5x - x^2 - 1
2. Если x >= 5: f(x) = x(x - 5) - 1 = x^2 - 5x - 1

Теперь найдем значения функции на отрезке [-2; 6].

Для x = -2:

f(-2) = -2(5 - (-2)) - 1 = -2(7) - 1 = -14 - 1 = -15

Для x = 0:

f(0) = 0(5 - 0) - 1 = -1

Для x = 2:

f(2) = 2(5 - 2) - 1 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5

Для x = 4:

f(4) = 4(5 - 4) - 1 = 4(1) - 1 = 4 - 1 = 3

Для x = 5:

f(5) = 5(5 - 5) - 1 = -1

Для x = 6:

f(6) = 6(6 - 5) - 1 = 6(1) - 1 = 6 - 1 = 5

Теперь соберем все найденные значения:

• f(-2) = -15
• f(0) = -1
• f(2) = 5
• f(4) = 3
• f(5) = -1
• f(6) = 5

Таким образом, на отрезке [-2; 6] значение функции изменяется от -15 до 5.

Ответ: Значение функции на отрезке [-2; 6] изменяется от -15 до 5.