1. В параллелограмме ABCD угол A равен 30°, длина стороны AB составляет 2√3, а длина стороны BC равна 5. Какое скалярное произведение векторов можно найти:

• a) AD и AB;
• b) BA и BC;
• c) AD и BH?

2. Какое скалярное произведение векторов t = {3; -2} и s = {-2; 3}?

3. Какой косинус угла между векторами P и Q, если P = {3; -4} и Q = {15; 8}?

4. Даны векторы a = {2; -3} и b = {x; -4}. При каком значении x эти векторы будут перпендикулярны?

5. Какой косинус угла A треугольника с вершинами A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2)?

Геометрия 11 класс Скалярное произведение векторов и углы между векторами параллелограмм ABCD угол A 30° скалярное произведение векторы AD и AB векторы BA и BC векторы AD и BH косинус угла между векторами векторы t и s векторы P и Q перпендикулярные векторы косинус угла треугольника Новый

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Параллелограмм ABCD

В параллелограмме ABCD угол A равен 30°, длина стороны AB составляет 2√3, а длина стороны BC равна 5. Нам нужно найти скалярные произведения векторов:

• a) AD и AB

Векторы AD и AB можно найти, используя свойства параллелограмма. Вектор AD равен вектору BC, так как противолежащие стороны параллелограмма равны. Таким образом, скалярное произведение будет равно:

AD • AB = |AD| * |AB| * cos(угол между ними). Угол между AD и AB равен 180° - 30° = 150°, и cos(150°) = -√3/2. Длина AD равна длине BC, то есть 5.

Скалярное произведение: 5 * 2√3 * (-√3/2) = -15.

• b) BA и BC

Вектор BA равен -AB, поэтому:

BA • BC = (-AB) • BC = -|AB| * |BC| * cos(угол между AB и BC). Угол между AB и BC равен 30°. Таким образом, cos(30°) = √3/2.

Скалярное произведение: -2√3 * 5 * (√3/2) = -15.

• c) AD и BH

Вектор BH можно найти, используя координаты точек B и H. Если H - это проекция точки B на сторону AD, то вектор BH будет перпендикулярен AD. В таком случае, скалярное произведение AD и BH будет равно 0.

2. Скалярное произведение векторов t и s

Векторы t = {3; -2} и s = {-2; 3}. Скалярное произведение считается как:

t • s = 3 * (-2) + (-2) * 3 = -6 - 6 = -12.

3. Косинус угла между векторами P и Q

Векторы P = {3; -4} и Q = {15; 8}. Для нахождения косинуса угла между ними используем формулу:

cos(угол) = (P • Q) / (|P| * |Q|).

Сначала найдем скалярное произведение P • Q:

P • Q = 3 * 15 + (-4) * 8 = 45 - 32 = 13.

Теперь найдем длины векторов:

|P| = √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

|Q| = √(15^2 + 8^2) = √(225 + 64) = √289 = 17.

Теперь подставим в формулу:

cos(угол) = 13 / (5 * 17) = 13 / 85.

4. Перпендикулярность векторов a и b

Векторы a = {2; -3} и b = {x; -4} будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0:

a • b = 2 * x + (-3) * (-4) = 2x + 12 = 0.

Решим уравнение: 2x + 12 = 0, тогда 2x = -12, x = -6.

5. Косинус угла A треугольника ABC

Вершины треугольника A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). Для нахождения косинуса угла A используем векторы AB и AC:

AB = B - A = {0 - 3; 6 - 9} = {-3; -3}, AC = C - A = {4 - 3; 2 - 9} = {1; -7}.

Теперь найдем скалярное произведение AB • AC:

AB • AC = (-3) * 1 + (-3) * (-7) = -3 + 21 = 18.

Теперь найдем длины векторов:

|AB| = √((-3)^2 + (-3)^2) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.

|AC| = √(1^2 + (-7)^2) = √(1 + 49) = √50 = 5√2.

Теперь подставим в формулу:

cos(угол A) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|) = 18 / (3√2 * 5√2) = 18 / (30) = 3/5.