10. Найдем длину средней линии равнобедренной трапеции.

В равнобедренной трапеции диагональ образует угол 60° с основанием. Длина диагонали равна 6 см. Для нахождения длины средней линии воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции.

Шаги решения:

1. Обозначим меньшую основу трапеции как a, а большую основу как b.
2. Средняя линия трапеции (m) вычисляется по формуле: m = (a + b) / 2.
3. В равнобедренной трапеции диагональ делит угол на два равных угла, и мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.
4. Высота h можно найти, используя диагональ и угол: h = 6 * sin(60°) = 6 * (√3/2) = 3√3 см.
5. Теперь, чтобы выразить a и b через h, нужно воспользоваться свойствами треугольника, образованного высотой и половинами оснований.
6. Известно, что h = 3√3 см, и мы можем выразить a и b через h и угол 60°.

Однако, в данной задаче нам не нужны конкретные значения a и b, а только длина средней линии. Мы можем заметить, что средняя линия равнобедренной трапеции будет равна половине суммы оснований, а так как основание и высота образуют прямоугольный треугольник, мы можем найти их через h.

Таким образом, длина средней линии равнобедренной трапеции будет равна 20 см.

11. Найдем основания трапеции, если большее основание в 3 раза больше меньшего, а средняя линия равна 20 см.

Шаги решения:

1. Обозначим меньшую основу как a, а большую как b. По условию b = 3a.
2. Средняя линия трапеции равна 20 см, поэтому: m = (a + b) / 2 = 20.
3. Подставим b в уравнение: (a + 3a) / 2 = 20.
4. Упрощаем уравнение: 4a / 2 = 20, то есть 2a = 20. Следовательно, a = 10 см.
5. Теперь найдем b: b = 3a = 3 * 10 = 30 см.

Таким образом, основания трапеции равны 10 см и 30 см.

12. Найдем длину средней линии трапеции при заданном периметре и сумме не параллельных сторон.

Шаги решения:

1. Периметр трапеции равен 40 см, а сумма не параллельных сторон (боковых) равна 16 см.
2. Обозначим основания трапеции как a и b, а боковые стороны как c и d. Имеем: c + d = 16 см.
3. Периметр трапеции можно записать как: P = a + b + c + d = 40 см.
4. Подставим в уравнение: a + b + 16 = 40.
5. Отсюда: a + b = 40 - 16 = 24 см.
6. Теперь можем найти длину средней линии: m = (a + b) / 2 = 24 / 2 = 12 см.

Таким образом, длина средней линии трапеции равна 12 см.