2025-09-11 14:21:26
17. Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM=6 MB и 2 DN=3 CN.
- Докажите, что AD=3 BC
- Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен √105
Геометрия 11 класс Вписанная окружность в трапецию окружность трапеция стороны am MB DN CN AD BC длина отрезка радиус окружности геометрия 11 класс
2025-09-11 14:21:51
Для решения данной задачи начнем с анализа данных, которые нам даны.
1. У нас есть трапеция ABCD, в которую вписана окружность. Это значит, что сумма длин противоположных сторон равна:
AB + CD = AD + BC2. Из условия задачи мы знаем, что:
- AM = 6 MB. Обозначим MB как x, тогда AM = 6x. Сумма AB будет равна: AB = AM + MB = 6x + x = 7x
- 2 DN = 3 CN. Обозначим CN как y, тогда DN = (3/2)y. Сумма CD будет равна: CD = CN + DN = y + (3/2)y = (5/2)y
Теперь мы можем записать равенство для сумм длин сторон:
7x + (5/2)y = AD + BC3. Далее, давайте выразим AD и BC через y и x. Мы знаем, что:
- AD = DN + AM = (3/2)y + 6x
- BC = MB + CN = x + y
Теперь подставим эти значения в равенство:
7x + (5/2)y = (3/2)y + 6x + x + yУпрощаем это равенство:
- 7x + (5/2)y = 7x + (3/2)y + y
- 7x + (5/2)y = 7x + (5/2)y
Таким образом, мы видим, что равенство выполняется, и теперь можем перейти к следующему шагу.
4. Нам нужно доказать, что AD = 3 BC. Подставим выражения для AD и BC:
AD = (3/2)y + 6x BC = x + yТеперь выразим AD через BC:
- AD = 3 * BC
- (3/2)y + 6x = 3(x + y)
Раскроем скобки:
(3/2)y + 6x = 3x + 3yТеперь соберем все элементы с y и x:
- (3/2)y - 3y = 3x - 6x
- -(3/2)y = -3x
Умножим обе стороны на -2:
3y = 6xТаким образом, мы получаем, что y = 2x, что подтверждает, что AD = 3 BC.
Теперь найдем длину отрезка MN. Отрезок MN равен разности длин оснований трапеции:
MN = |AB - CD|Подставим уже найденные значения:
- AB = 7x
- CD = (5/2)(2x) = 5x
Теперь найдем MN:
MN = |7x - 5x| = |2x| = 2x5. Теперь, чтобы найти x, воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности трапеции:
r = (AB + CD - AD - BC) / 2Мы знаем, что r = √105. Подставим известные значения:
√105 = (7x + 5x - (3/2)(2x) - (x + 2x)) / 2Упрощаем:
√105 = (12x - 3x) / 2 = 9x / 2Отсюда найдем x:
x = (2√105) / 9Теперь подставим значение x в формулу для MN:
MN = 2x = 2 * (2√105) / 9 = (4√105) / 9Таким образом, мы доказали, что AD = 3 BC и нашли длину отрезка MN, которая равна (4√105) / 9.