Для решения этой задачи воспользуемся теорией о наклонных линиях и их проекциях на плоскость.

Обозначим:

• h - длина перпендикуляра, который опущен из точки на плоскость;
• l1 - длина первой наклонной;
• l2 - длина второй наклонной;
• p1 - проекция первой наклонной на плоскость (27);
• p2 - проекция второй наклонной на плоскость (15);
.

Из условия задачи известно, что одна наклонная на 6 длинее другой, то есть:

• l1 = l2 + 6.

Согласно теореме Пифагора, для наклонной линии, длина которой равна l, и ее проекции p на плоскости, а также перпендикуляра h, выполняется следующее равенство:

• l^2 = p^2 + h^2.

Теперь запишем уравнения для обеих наклонных:

1. Для первой наклонной:
• l1^2 = p1^2 + h^2.
• l1^2 = 27^2 + h^2.
2. Для второй наклонной:
• l2^2 = p2^2 + h^2.
• l2^2 = 15^2 + h^2.

Теперь подставим l1 и l2 в уравнения:

• l1 = l2 + 6, значит l2 = l1 - 6.

Теперь подставим l2 в уравнение для второй наклонной:

• (l1 - 6)^2 = 15^2 + h^2.

Теперь подставим l1 в уравнение для первой наклонной:

• l1^2 = 27^2 + h^2.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. (l1 - 6)^2 = 15^2 + h^2
2. l1^2 = 27^2 + h^2

Раскроем скобки в первом уравнении:

• l1^2 - 12l1 + 36 = 225 + h^2.

Теперь подставим l1^2 из второго уравнения во первое:

• (27^2 + h^2) - 12l1 + 36 = 225 + h^2.

Упростим уравнение:

• 729 - 12l1 + 36 = 225.

Теперь решим это уравнение:

• 765 - 225 = 12l1.
• 540 = 12l1.
• l1 = 45.

Теперь подставим l1 обратно, чтобы найти h:

• l1^2 = 27^2 + h^2.
• 45^2 = 729 + h^2.
• 2025 = 729 + h^2.
• h^2 = 2025 - 729.
• h^2 = 1296.
• h = 36.

Таким образом, длина перпендикуляра равна 36. Правильный ответ: E) 36.