а) Как определить координаты центра сферы и радиус сферы по уравнению x² - 4x + z² + y² + 2y = 1?

Геометрия 11 класс Сферы в пространстве координаты центра сферы радиус сферы уравнение сферы геометрия 11 класс решение задач по геометрии Новый

Чтобы определить координаты центра сферы и радиус сферы по данному уравнению, необходимо привести его к стандартному виду уравнения сферы. Стандартное уравнение сферы имеет вид:

(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²,

где (x₀, y₀, z₀) - координаты центра сферы, а R - радиус сферы.

Давайте разберем данное уравнение:

x² - 4x + z² + y² + 2y = 1.

Теперь мы будем группировать и приводить к квадратам по каждой переменной (x, y, z).

1. Группируем x:
   • Мы имеем x² - 4x. Чтобы привести это к квадрату, добавим и вычтем (4/2)² = 4:
   • x² - 4x = (x - 2)² - 4.
2. Группируем y:
   • Мы имеем y² + 2y. Чтобы привести это к квадрату, добавим и вычтем (2/2)² = 1:
   • y² + 2y = (y + 1)² - 1.
3. Рассмотрим z:
   • z² остается без изменений, так как оно уже в нужном виде.

Теперь подставим все обратно в уравнение:

(x - 2)² - 4 + (y + 1)² - 1 + z² = 1.

Упрощаем уравнение:

(x - 2)² + (y + 1)² + z² - 5 = 1.

Теперь добавим 5 к обеим сторонам уравнения:

(x - 2)² + (y + 1)² + z² = 6.

Теперь мы видим, что уравнение имеет форму стандартного уравнения сферы:

(x - 2)² + (y + 1)² + (z - 0)² = 6.

Теперь можем определить координаты центра и радиус:

• Координаты центра сферы: (2, -1, 0).
• Радиус сферы: R = √6.

Таким образом, мы нашли центр и радиус сферы, исходя из данного уравнения.