2025-09-18 17:49:51
Через концы отрезка АВ и точку С, такая что AC: CB = 2 : 3, проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках A1, B1 и C1. Какова длина отрезка CC1, если известно, что отрезок АВ не пересекает плоскость α, AA1 = 12, BB1 = 22?
Геометрия 11 класс Пропорциональные отрезки и подобие треугольников геометрия 11 класс отрезок АВ параллельные прямые длина отрезка CC1 соотношение AC CB плоскость α точки A1 B1 C1 задачи по геометрии решение задач математические пропорции
2025-09-18 17:50:09
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами подобия треугольников и пропорциями отрезков.
Итак, у нас есть отрезок AB, который делится точкой C в отношении 2:3. Это означает, что:
- AC = 2k
- CB = 3k
где k - некоторый положительный коэффициент. Таким образом, длина отрезка AB равна:
AB = AC + CB = 2k + 3k = 5k.
Теперь, так как прямые, проведенные через точки A и B, параллельны, и пересекают плоскость α в точках A1, B1 и C1, мы можем использовать теорему о подобии треугольников. Поскольку отрезки AA1 и BB1 являются высотами, проведенными из точек A и B на плоскость α, то:
Длина отрезка CC1 будет пропорциональна длине отрезка AB. Мы можем записать это соотношение в виде:
- CC1 / AB = AA1 / (AA1 + BB1)
Подставим известные значения:
- AA1 = 12
- BB1 = 22
Сначала найдем длину отрезка AB. Подставим значение k. Мы не знаем k, но можем выразить его через AB:
- AB = 5k.
Теперь подставим значения в соотношение:
- CC1 / (5k) = 12 / (12 + 22) = 12 / 34 = 6 / 17.
Теперь выразим CC1:
- CC1 = (5k) * (6 / 17) = (30k / 17).
Теперь нам нужно найти значение k. Для этого воспользуемся соотношением между AA1 и BB1:
- AA1 = 12
- BB1 = 22
Поскольку отрезок CC1 также пропорционален отрезкам AA1 и BB1, можем сказать, что:
- CC1 = (AA1 * CB) / AB.
Подставим CB = 3k и AB = 5k:
- CC1 = (12 * 3k) / (5k) = 36 / 5.
Теперь мы можем выразить CC1 в числовом виде:
CC1 = (30k / 17) = 36 / 5.
Теперь найдем k:
- 30k = (36 / 5) * 17
- 30k = 612 / 5
- k = (612 / 5) / 30 = 612 / 150 = 102 / 25.
Теперь подставим значение k в CC1:
- CC1 = (30 * (102 / 25)) / 17 = 3060 / 425 = 6.4.
Таким образом, длина отрезка CC1 составляет:
CC1 = 6.4 единиц.