Чтобы найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, нам нужно сначала разобраться с параметрами исходного конуса и его усеченной части. Давайте разберем задачу по шагам.

Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле:

S = π * R * l,

где R - радиус основания конуса, l - образующая (длина наклонной стороны) конуса.

Из условия задачи нам известно, что площадь боковой поверхности конуса равна 96π. Это означает, что:

π * R * l = 96π.

Отсюда мы можем выразить произведение R * l:

R * l = 96.

Когда плоскость проходит через середину высоты конуса, она делит конус на два тела: конус и усеченный конус. Высота усеченного конуса будет равна половине высоты исходного конуса. Обозначим высоту исходного конуса как H, тогда высота усеченного конуса будет H/2.

При этом радиус основания усеченного конуса будет равен радиусу основания исходного конуса, а радиус верхнего основания усеченного конуса будет меньше. Мы можем использовать подобие треугольников, чтобы найти это значение.

Поскольку плоскость делит высоту пополам, радиус верхнего основания усеченного конуса будет равен половине радиуса основания исходного конуса:

r = R/2.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно вычислить по формуле:

S_усеченного = π * (R + r) * l_усеченного,

где l_усеченного - образующая усеченного конуса. Для нахождения l_усеченного мы можем использовать теорему Пифагора:

l_усеченного = √((H/2)² + (R - r)²).

Подставляя значения:

r = R/2, H/2 = H/2, и H = 2h (где h - высота маленького конуса), мы можем выразить l_усеченного через R и H.

В результате, площадь боковой поверхности усеченного конуса будет равна:

S_усеченного = π * (R + R/2) * l_усеченного.

После подстановки и упрощения, мы получаем, что площадь боковой поверхности усеченного конуса составляет 72π.