Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Нужно доказать, что плоскость, проведенная через середины ребер AB, BC и BB₁, параллельна плоскости АСВ₁. Также необходимо вычислить периметр треугольника АСВ₁, если длина ребра куба составляет 2 см.

Геометрия 11 класс Параллельные плоскости и периметр треугольника куб ABCDA1B1C1D1 плоскость через середины ребер параллельность плоскостей доказательство в геометрии периметр треугольника АСВ₁ длина ребра куба 2 см свойства куба в геометрии Новый

Давайте начнем с того, что определим координаты вершин куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Предположим, что куб расположен в пространстве так, что:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• A₁(0, 0, 2)
• B₁(2, 0, 2)
• C₁(2, 2, 2)
• D₁(0, 2, 2)

Теперь найдем координаты середины ребер AB, BC и BB₁:

• Середина ребра AB: M₁ = ((0 + 2)/2, (0 + 0)/2, (0 + 0)/2) = (1, 0, 0)
• Середина ребра BC: M₂ = ((2 + 2)/2, (0 + 2)/2, (0 + 0)/2) = (2, 1, 0)
• Середина ребра BB₁: M₃ = ((2 + 2)/2, (0 + 0)/2, (0 + 2)/2) = (2, 0, 1)

Теперь у нас есть три точки: M₁(1, 0, 0), M₂(2, 1, 0) и M₃(2, 0, 1). Чтобы показать, что плоскость, проходящая через эти точки, параллельна плоскости ACB₁, найдем нормальный вектор к плоскости, образованной точками M₁, M₂ и M₃.

Для этого используем векторы:

• v₁ = M₂ - M₁ = (2 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)
• v₂ = M₃ - M₁ = (2 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (1, 0, 1)

Теперь найдем векторное произведение v₁ и v₂, чтобы получить нормальный вектор:

• n = v₁ × v₂ = |i j k|
• |1 1 0|
• |1 0 1|

Вычислим детерминант:

• n = i(1*1 - 0*0) - j(1*1 - 0*1) + k(1*0 - 1*1) = (1, -1, -1)

Теперь найдем нормальный вектор для плоскости ACB₁:

• v₃ = C - A = (2 - 0, 2 - 0, 0 - 0) = (2, 2, 0)
• v₄ = B₁ - A = (2 - 0, 0 - 0, 2 - 0) = (2, 0, 2)

Векторное произведение v₃ и v₄:

• n' = v₃ × v₄ = |i j k|
• |2 2 0|
• |2 0 2|

Вычислим детерминант:

• n' = i(2*2 - 0*0) - j(2*2 - 0*2) + k(2*0 - 2*2) = (4, -4, -4)

Поскольку нормальные векторы n и n' пропорциональны (n' = 4n), это означает, что плоскости параллельны.

Теперь вычислим периметр треугольника ACB₁. Для этого найдем длины его сторон:

• AB = 2 см (длина ребра куба)
• AC = √((2 - 0)² + (2 - 0)² + (0 - 0)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2 см
• AB₁ = √((2 - 0)² + (0 - 0)² + (2 - 0)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2 см

Теперь найдем периметр треугольника ACB₁:

• Периметр = AB + AC + AB₁ = 2 + 2√2 + 2√2 = 2 + 4√2 см.

Таким образом, мы доказали, что плоскость, проведенная через середины ребер AB, BC и BB₁, параллельна плоскости ACB₁, и вычислили периметр треугольника ACB₁, который равен 2 + 4√2 см.