Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки о и е - середина рёбер AD и DC соответственно. Треугольник oed1 является сечением куба плоскостью, проходящей через точки о, е и d1. А) Является ли треугольник oed1 равнобедренным? Б) Какова длина ребра куба, если периметр треугольника oed1 равен p?

Геометрия 11 класс Сечения и сеченные фигуры куб треугольник равнобедренный сечение геометрия периметр длина ребра точки плоскость AD DC задачи по геометрии Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа треугольника oed1, который образован точками о, е и d1 в кубе ABCDA1B1C1D1.

A) Является ли треугольник oed1 равнобедренным?

1. Определим координаты точек куба:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

2. Найдем координаты точек о и е:

• Точка о - середина рёбер AD: о(0, 0.5, 0)
• Точка е - середина рёбер DC: е(0.5, 1, 0)
• Точка d1 - верхняя точка D1: d1(0, 1, 1)

3. Теперь найдем длины сторон треугольника oed1:

• Длина od1:
  • od1 = √((0 - 0)^2 + (0.5 - 1)^2 + (0 - 1)^2) = √(0 + 0.25 + 1) = √1.25 = √(5/4) = (√5)/2
• Длина oe:
  • oe = √((0 - 0.5)^2 + (0.5 - 1)^2 + (0 - 0)^2) = √(0.25 + 0.25) = √0.5 = (√2)/2
• Длина ed1:
  • ed1 = √((0.5 - 0)^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 1)^2) = √(0.25 + 0 + 1) = √1.25 = (√5)/2

4. Сравним длины сторон:

• od1 = ed1 = (√5)/2
• oe = (√2)/2

5. Так как od1 = ed1, то треугольник oed1 является равнобедренным.

B) Какова длина ребра куба, если периметр треугольника oed1 равен p?

1. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

• Периметр P = od1 + oe + ed1 = (√5)/2 + (√2)/2 + (√5)/2 = (2√5 + √2)/2

2. Приравняем периметр к p:

• (2√5 + √2)/2 = p

3. Умножим обе стороны на 2:

• 2√5 + √2 = 2p

4. Теперь выразим длину ребра куба через p:

• √5 = (2p - √2)/2

5. Известно, что длина ребра куба равна 1 (если мы рассматриваем единичный куб), однако, чтобы выразить это через p, нам нужно учитывать, что длина ребра будет зависеть от конкретного значения p.

Таким образом, если периметр треугольника равен p, то длина ребра куба может быть найдена, подставив значение p в уравнение, полученное выше.