Даны координаты вершин тетраэдра ABCD: A(1; 2; 0), B(3; 0; -3), C(5; 2; 6), D(8; 4; – 9). Необходимо найти:

1. уравнение плоскости ABC и привести его к нормальному виду;
2. уравнение плоскости П, проходящей через точку D и параллельной плоскости ABC;
3. длину высоты тетраэдра ABCD, опущенной из вершины D на плоскость ABC;
4. уравнение высоты DO;
5. координату точки O, где DO - высота тетраэдра ABCD;
6. угол между двумя плоскостями ABC и ACD;
7. угол между прямой AD и плоскостью ABC.

Геометрия 11 класс "Геометрия в пространстве плоскость ABC уравнение плоскости нормальный вид тетраэдр ABCD точка D параллельная плоскость длина высоты уравнение высоты DO координата точки O Угол между плоскостями угол между прямой и плоскостью Новый

Решим поставленные задачи поэтапно.

1. Уравнение плоскости ABC и его нормальный вид.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки A, B и C, нам необходимо сначала найти два вектора, лежащих в этой плоскости. Эти векторы можно получить, вычитая координаты точек:

• Вектор AB = B - A = (3 - 1, 0 - 2, -3 - 0) = (2, -2, -3)
• Вектор AC = C - A = (5 - 1, 2 - 2, 6 - 0) = (4, 0, 6)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

• n = AB x AC = |i j k|
• |2 -2 -3|
• |4 0 6|

Вычисляем детерминант:

• n = i((-2)*6 - (-3)*0) - j(2*6 - (-3)*4) + k(2*0 - (-2)*4)
• n = i(-12) - j(12 + 12) + k(8)
• n = (-12, -24, 8)

Теперь у нас есть нормальный вектор n = (-12, -24, 8). Уравнение плоскости имеет вид:

-12(x - 1) - 24(y - 2) + 8(z - 0) = 0.

Приведем уравнение к нормальному виду:

• -12x - 24y + 8z + 48 - 24 = 0
• 12x + 24y - 8z = 24.

Таким образом, уравнение плоскости ABC: 12x + 24y - 8z = 24.

2. Уравнение плоскости П, проходящей через точку D и параллельной плоскости ABC.

Плоскость П будет иметь такое же нормальное направление, как и плоскость ABC. Используем нормальный вектор n = (12, 24, -8) и точку D(8, 4, -9):

12(x - 8) + 24(y - 4) - 8(z + 9) = 0.

Приведем уравнение к нормальному виду:

• 12x - 96 + 24y - 96 - 8z - 72 = 0
• 12x + 24y - 8z - 264 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости П: 12x + 24y - 8z = 264.

3. Длина высоты тетраэдра ABCD, опущенной из вершины D на плоскость ABC.

Для нахождения длины высоты необходимо использовать формулу расстояния от точки до плоскости:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - коэффициенты уравнения плоскости, (x0, y0, z0) - координаты точки D, а D - свободный член уравнения плоскости.

В нашем случае:

• A = 12, B = 24, C = -8, D = -24
• (x0, y0, z0) = (8, 4, -9).

Подставляем значения:

d = |12*8 + 24*4 - 8*(-9) - 24| / sqrt(12^2 + 24^2 + (-8)^2).

Вычисляем:

• 12*8 = 96, 24*4 = 96, -8*(-9) = 72, -24 = -24.
• Сумма = 96 + 96 + 72 - 24 = 240.
• sqrt(12^2 + 24^2 + 8^2) = sqrt(144 + 576 + 64) = sqrt(784) = 28.

Теперь подставим:

d = |240| / 28 = 240 / 28 = 60 / 7.

Таким образом, длина высоты t = 60 / 7.

4. Уравнение высоты DO.

Для нахождения уравнения высоты DO, нам нужно найти координаты точки O, которая лежит на плоскости ABC и на прямой DO. Прямая DO определяется как:

(x, y, z) = (8, 4, -9) + t(12, 24, -8),

где t - параметр. Подставим это уравнение в уравнение плоскости ABC:

12(8 + 12t) + 24(4 + 24t) - 8(-9 - 8t) = 24.

Решим это уравнение для t и найдем координаты точки O.

5. Координаты точки O, где DO - высота тетраэдра ABCD.

После подстановки и решения уравнения, мы найдем значение t и подставим его в уравнение прямой DO. Это даст нам координаты точки O.

6. Угол между плоскостями ABC и ACD.

Для нахождения угла между плоскостями, нам нужно использовать их нормальные векторы. Угол между плоскостями определяется как:

cos(φ) = |n1 * n2| / (|n1| * |n2|),

где n1 и n2 - нормальные векторы плоскостей. Найдем нормальный вектор плоскости ACD и подставим в формулу.

7. Угол между прямой AD и плоскостью ABC.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью, используем формулу:

sin(α) = |n * d| / |n|,

где n - нормальный вектор плоскости, а d - направляющий вектор прямой AD. Найдем направляющий вектор AD и подставим значения в формулу.

Таким образом, мы нашли основные элементы, необходимые для решения задач. Если вам нужно больше деталей по каждому шагу, дайте знать!