Даны координаты вершин треугольника A (-1;-2;4), B (-4;-2;0), C (3;-2;1). Как можно найти периметр, площадь и угол C этого треугольника?

Геометрия 11 класс Геометрия треугольника в пространстве координаты вершин треугольника периметр треугольника площадь треугольника угол C треугольника задачи по геометрии 11 класс Новый

Давайте поэтапно решим задачу о нахождении периметра, площади и угла C треугольника с заданными координатами вершин A, B и C.

1. Находим длины сторон треугольника.

Сначала нам нужно найти длины сторон треугольника. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

Расстояние между двумя точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) вычисляется по формуле:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

• Длина стороны AB:
  Подставляем координаты A и B:
  AB = √((-4 - (-1))² + (-2 - (-2))² + (0 - 4)²)
  AB = √((-3)² + (0)² + (-4)²) = √(9 + 0 + 16) = √25 = 5.
• Длина стороны BC:
  Подставляем координаты B и C:
  BC = √((3 - (-4))² + (-2 - (-2))² + (1 - 0)²)
  BC = √((7)² + (0)² + (1)²) = √(49 + 0 + 1) = √50 = 5√2.
• Длина стороны AC:
  Подставляем координаты A и C:
  AC = √((3 - (-1))² + (-2 - (-2))² + (1 - 4)²)
  AC = √((4)² + (0)² + (-3)²) = √(16 + 0 + 9) = √25 = 5.

2. Находим периметр треугольника.

Периметр P треугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон:

P = AB + BC + AC = 5 + 5√2 + 5.

Таким образом, периметр треугольника равен:

P = 10 + 5√2.

3. Находим площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника с помощью координат вершин можно использовать формулу:

Площадь S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.

Подставим координаты A, B и C:

S = 0.5 * |-1(-2 - (-2)) + (-4)(-2 - 4) + 3(4 - (-2))|

S = 0.5 * |0 + 24 + 18| = 0.5 * 42 = 21.

4. Находим угол C.

Чтобы найти угол C, мы можем использовать косинусное правило:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab),

где a, b, c - длины сторон треугольника, а C - угол против стороны c.

Обозначим:

• a = AB = 5,
• b = AC = 5,
• c = BC = 5√2.

Теперь подставим значения в формулу:

cos(C) = (5² + 5² - (5√2)²) / (2 * 5 * 5) = (25 + 25 - 50) / 50 = 0.

Угол C равен 90 градусов, так как cos(C) = 0.

Итак, мы получили:

• Периметр треугольника: P = 10 + 5√2.
• Площадь треугольника: S = 21.
• Угол C: 90 градусов.