Даны точки A (-1;3;2) и B (5;-1;4). Запишите координаты точек симметрично:

1. относительно начала координат;
2. плоскости yz;
3. оси x.

№2) Параллельный перенос в пространстве задан формулами:

• x штрих = x + 3;
• y штрих = y - 2;
• z штрих = z - 4.

а) В какую точку при таком переносе переходит точка A (2;1;-1)?

б) Какая точка при таком переносе переходит в точку B (4;3;-1)?

№3) Дан треугольник ABC с вершинами в точках A(7;3;-2), B(1;3;6), C(0;0;-1). Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и укажите его основания.

Геометрия 11 класс Симметрия и преобразования в пространстве симметрия в пространстве координаты точек параллельный перенос треугольник ABC равнобедренный треугольник начало координат плоскость yz ось X вершины треугольника доказательство свойств треугольника Новый

Давайте по очереди разберем каждый из пунктов вашего задания.

1. Найдите координаты точек, симметричных относительно:

• Начала координат: Чтобы найти симметричные точки относительно начала координат, нужно изменить знак всех координат. Для точки A (-1;3;2) симметричная точка A' будет (1;-3;-2). Для точки B (5;-1;4) симметричная точка B' будет (-5;1;-4).
• Плоскости yz: Симметричные точки относительно плоскости yz меняют знак только координаты x. Для точки A (-1;3;2) симметричная точка A'' будет (1;3;2). Для точки B (5;-1;4) симметричная точка B'' будет (-5;-1;4).
• Оси x: Симметричные точки относительно оси x меняют знак только координаты y и z. Для точки A (-1;3;2) симметричная точка A''' будет (-1;-3;-2). Для точки B (5;-1;4) симметричная точка B''' будет (5;1;-4).

Итак, координаты симметричных точек:

• Относительно начала координат: A'(1;-3;-2), B'(-5;1;-4)
• Относительно плоскости yz: A''(1;3;2), B''(-5;-1;4)
• Относительно оси x: A'''(-1;-3;-2), B'''(5;1;-4)

2. Параллельный перенос в пространстве:

Формулы переноса: x штрих = x + 3; y штрих = y - 2; z штрих = z - 4.

• а) Для точки A (2;1;-1):
1. x' = 2 + 3 = 5
2. y' = 1 - 2 = -1
3. z' = -1 - 4 = -5

Таким образом, точка A при переносе переходит в точку A'(5; -1; -5).

• б) Для точки B (4;3;-1):
1. x + 3 = 4, значит x = 4 - 3 = 1
2. y - 2 = 3, значит y = 3 + 2 = 5
3. z - 4 = -1, значит z = -1 + 4 = 3

Таким образом, точка, которая при переносе переходит в точку B (4;3;-1), это точка (1;5;3).

3. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный:

Для начала найдем длины сторон треугольника ABC. Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

• Сторона AB:
1. AB = √((1 - 7)² + (3 - 3)² + (6 - (-2))²)
2. AB = √((-6)² + 0 + (8)²) = √(36 + 0 + 64) = √100 = 10
• Сторона AC:
1. AC = √((0 - 7)² + (0 - 3)² + (-1 - (-2))²)
2. AC = √((-7)² + (-3)² + (1)²) = √(49 + 9 + 1) = √59
• Сторона BC:
1. BC = √((0 - 1)² + (0 - 3)² + (-1 - 6)²)
2. BC = √((-1)² + (-3)² + (-7)²) = √(1 + 9 + 49) = √59

Сравнив длины сторон, мы видим, что AB = 10, AC = √59 и BC = √59. Так как стороны AC и BC равны, треугольник ABC является равнобедренным, а основанием является сторона AB.