Даны точки М(3;1;4), N( -1;6;1), K( -1;1;6), P(0;4; -1). Найдите:

1. угол между прямой КР и плоскостью MNK;
2. расстояние от точки Р до плоскости MNK;

Геометрия 11 класс Угол между прямой и плоскостью, расстояние от точки до плоскости угол между прямой и плоскостью расстояние до плоскости геометрия 11 класс координаты точек плоскость и прямая задачи по геометрии

Угол между прямой КР и плоскостью MNK:

• Угол α = 90° - угол между нормалью плоскости и прямой КР.

Расстояние от точки Р до плоскости MNK:

• Расстояние = 4/√14.

Для решения данной задачи нам нужно выполнить несколько шагов. Начнем с нахождения уравнения плоскости, проходящей через точки M, N и K, а затем найдем угол между прямой KR и плоскостью MNK, а также расстояние от точки P до этой плоскости.

Шаг 1: Найдем векторы MN и MK

Сначала найдем векторы MN и MK:

• Вектор MN = N - M = (-1 - 3; 6 - 1; 1 - 4) = (-4; 5; -3)
• Вектор MK = K - M = (-1 - 3; 1 - 1; 6 - 4) = (-4; 0; 2)

Шаг 2: Найдем нормальный вектор плоскости MNK

Нормальный вектор плоскости можно найти с помощью векторного произведения векторов MN и MK:

• n = MN x MK

Вычислим векторное произведение:

• n = |i j k|
• | -4 5 -3|
• | -4 0 2|

Рассчитаем детерминанты:

• i(5*2 - (-3)*0) - j(-4*2 - (-3)*(-4)) + k(-4*0 - 5*(-4))
• i(10) - j(-8 - 12) + k(20)
• n = (10; 20; 20)

Шаг 3: Уравнение плоскости MNK

Используя нормальный вектор n и точку M, запишем уравнение плоскости:

10(x - 3) + 20(y - 1) + 20(z - 4) = 0

Упрощаем уравнение:

10x + 20y + 20z - 60 - 20 - 80 = 0

10x + 20y + 20z - 160 = 0

Шаг 4: Найдем угол между прямой KR и плоскостью MNK

Прямая KR задана вектором, который можно найти как:

• Вектор KR = R - K = (0 - (-1); 4 - 1; -1 - 6) = (1; 3; -7)

Угол между прямой и плоскостью можно найти через скалярное произведение вектора направления прямой и нормального вектора плоскости:

• cos(α) = |n * KR| / (|n| * |KR|)

Сначала найдем скалярное произведение:

• n * KR = (10; 20; 20) * (1; 3; -7) = 10*1 + 20*3 + 20*(-7) = 10 + 60 - 140 = -70

Теперь найдем длины векторов n и KR:

• |n| = √(10^2 + 20^2 + 20^2) = √(100 + 400 + 400) = √900 = 30
• |KR| = √(1^2 + 3^2 + (-7)^2) = √(1 + 9 + 49) = √59

Теперь подставим значения в формулу:

cos(α) = | -70 | / (30 * √59) = 70 / (30√59)

Шаг 5: Найдем расстояние от точки P до плоскости MNK

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

Где A, B, C — коэффициенты уравнения плоскости, а (x0, y0, z0) — координаты точки P.

Подставим значения:

• A = 10, B = 20, C = 20, D = -160
• P(0; 4; -1): d = |10*0 + 20*4 + 20*(-1) - 160| / √(10^2 + 20^2 + 20^2)
• d = |0 + 80 - 20 - 160| / 30 = | -100 | / 30 = 100 / 30 = 10/3

Таким образом, мы нашли угол между прямой KR и плоскостью MNK, а также расстояние от точки P до плоскости MNK:

• Угол между прямой KR и плоскостью MNK: cos(α) = 70 / (30√59)
• Расстояние от точки P до плоскости MNK: 10/3