Давайте докажем, что среди всех прямоугольников с одинаковым периметром квадрат имеет наибольшую площадь. Для этого мы будем использовать свойства периметра и площади прямоугольников.

Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Периметр P прямоугольника можно выразить следующим образом:

• P = 2a + 2b.

Предположим, что периметр P фиксирован, тогда мы можем записать:

• a + b = P/2.

Теперь выразим площадь S прямоугольника:

• S = a * b.

Мы можем выразить одну из сторон через другую, используя уравнение для периметра. Например, выразим b через a:

• b = P/2 - a.

Теперь подставим это значение в формулу для площади:

• S = a * (P/2 - a).

Раскроем скобки:

• S = (P/2)a - a^2.

Теперь мы имеем квадратную функцию S(a) = -(a^2) + (P/2)a, которая является параболой, открытой вниз. Чтобы найти максимум площади, найдем вершину этой параболы. Вершина параболы находится по формуле:

• a = -b/(2a),

где a и b - коэффициенты из уравнения S(a). В нашем случае:

• a = -1 (коэффициент при a^2),
• b = P/2 (коэффициент при a).

Подставим значения в формулу:

• a = - (P/2) / (2 * -1) = P/4.

Таким образом, при a = P/4, мы можем найти значение b:

• b = P/2 - P/4 = P/4.

Таким образом, если a = b = P/4, то мы получаем квадрат со сторонами P/4. Теперь найдем площадь этого квадрата:

• S = (P/4) * (P/4) = P^2/16.

Теперь, чтобы показать, что это действительно максимальная площадь, можно использовать неравенство между арифметическим и геометрическим средним (AM-GM). Для двух положительных чисел a и b справедливо:

• (a + b)/2 ≥ √(ab).

В нашем случае:

• (a + b)/2 = P/4.

Следовательно:

• P/4 ≥ √(ab).

Возводя обе стороны в квадрат, получаем:

• (P/4)^2 ≥ ab.

Таким образом, максимальная площадь ab достигается, когда a = b, то есть когда прямоугольник является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что среди всех прямоугольников с равными периметрами квадрат имеет наибольшую площадь.