Докажите, что среди всех прямоугольников с равными периметрами квадрат имеет наибольшую площадь. Пожалуйста, дайте объяснение.

Геометрия 11 класс Оптимизация площадей фигур прямоугольники равные периметры квадрат наибольшая площадь доказательство геометрия свойства фигур оптимизация площади Новый

Давайте докажем, что среди всех прямоугольников с одинаковым периметром квадрат имеет наибольшую площадь. Для этого мы будем использовать свойства периметра и площади прямоугольников.

Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Периметр P прямоугольника можно выразить следующим образом:

• P = 2a + 2b.

Предположим, что периметр P фиксирован, тогда мы можем записать:

• a + b = P/2.

Теперь выразим площадь S прямоугольника:

• S = a * b.

Мы можем выразить одну из сторон через другую, используя уравнение для периметра. Например, выразим b через a:

• b = P/2 - a.

Теперь подставим это значение в формулу для площади:

• S = a * (P/2 - a).

Раскроем скобки:

• S = (P/2)a - a^2.

Теперь мы имеем квадратную функцию S(a) = -(a^2) + (P/2)a, которая является параболой, открытой вниз. Чтобы найти максимум площади, найдем вершину этой параболы. Вершина параболы находится по формуле:

• a = -b/(2a),

где a и b - коэффициенты из уравнения S(a). В нашем случае:

• a = -1 (коэффициент при a^2),
• b = P/2 (коэффициент при a).

Подставим значения в формулу:

• a = - (P/2) / (2 * -1) = P/4.

Таким образом, при a = P/4, мы можем найти значение b:

• b = P/2 - P/4 = P/4.

Таким образом, если a = b = P/4, то мы получаем квадрат со сторонами P/4. Теперь найдем площадь этого квадрата:

• S = (P/4) * (P/4) = P^2/16.

Теперь, чтобы показать, что это действительно максимальная площадь, можно использовать неравенство между арифметическим и геометрическим средним (AM-GM). Для двух положительных чисел a и b справедливо:

• (a + b)/2 ≥ √(ab).

В нашем случае:

• (a + b)/2 = P/4.

Следовательно:

• P/4 ≥ √(ab).

Возводя обе стороны в квадрат, получаем:

• (P/4)^2 ≥ ab.

Таким образом, максимальная площадь ab достигается, когда a = b, то есть когда прямоугольник является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что среди всех прямоугольников с равными периметрами квадрат имеет наибольшую площадь.