Если площадь поверхности куба равна площади поверхности шара, то каково отношение объемов куба и шара?

Геометрия 11 класс Отношение объемов фигур площадь поверхности куба площадь поверхности шара отношение объемов куба и шара геометрия 11 класс задачи по геометрии объем куба объем шара свойства куба и шара Новый

Давайте сначала разберемся с формулами для площади поверхности и объема куба и шара.

1. Площадь поверхности куба:

Пусть длина ребра куба равна a. Тогда площадь поверхности куба (S_куб) можно вычислить по формуле:

S_куб = 6a^2.

2. Площадь поверхности шара:

Пусть радиус шара равен r. Тогда площадь поверхности шара (S_шар) вычисляется по формуле:

S_шар = 4πr^2.

3. Условие задачи:

По условию, площадь поверхности куба равна площади поверхности шара:

6a^2 = 4πr^2.

Теперь мы можем выразить одно из значений через другое. Например, выразим a через r:

• 6a^2 = 4πr^2
• a^2 = (4π/6)r^2
• a^2 = (2π/3)r^2
• a = sqrt((2π/3)) * r.

4. Объем куба:

Объем куба (V_куб) вычисляется по формуле:

V_куб = a^3.

Подставляем выражение для a:

V_куб = (sqrt((2π/3)) * r)^3 = (2π/3)^(3/2) * r^3.

5. Объем шара:

Объем шара (V_шар) вычисляется по формуле:

V_шар = (4/3)πr^3.

6. Теперь найдем отношение объемов куба и шара:

Отношение V_куб к V_шар будет равно:

Отношение = V_куб / V_шар = [(2π/3)^(3/2) * r^3] / [(4/3)πr^3].

Сократим r^3:

Отношение = (2π/3)^(3/2) / (4/3)π.

Теперь упростим это выражение:

• Отношение = (2^(3/2) * π^(3/2)) / (4 * π) = (2^(3/2) / 4) * π^(3/2 - 1).
• Это можно записать как (2^(3/2) / 4) * π^(1/2).

7. Итог:

Таким образом, мы получили отношение объемов куба и шара:

Отношение = (2^(3/2) / 4) * sqrt(π).

Это и будет искомым отношением объемов куба и шара при условии, что их площади поверхности равны.