Фигура F ограничена следующими линиями: y = 1/x, x = 1 и осью абсцисс.

Вопросы:

1. Есть ли у фигуры F конечная площадь?
2. Если фигуру F вращать вокруг оси абсцисс, будет ли у полученного тела вращения конечный объём?

Постарайтесь ответить на эти вопросы максимально подробно.

Геометрия 11 класс Интегральное исчисление геометрия 11 класс фигура F конечная площадь ось абсцесс тело вращения конечный объем линии y = 1/x график функции площадь фигуры вращение вокруг оси Новый

Давайте подробно разберем вашу задачу, связанную с фигурой F, ограниченной линиями y = 1/x, x = 1 и осью абсцисс.

1. Есть ли у фигуры F конечная площадь?

Для того чтобы определить, есть ли у фигуры конечная площадь, нужно найти площадь, ограниченную заданными линиями. Фигура F ограничена:

• Графиком функции y = 1/x;
• Вертикальной линией x = 1;
• Осью абсцисс (y = 0).

Площадь фигуры F можно найти с помощью интеграла. Мы будем интегрировать функцию y = 1/x от x = 0 до x = 1:

Площадь S можно вычислить по формуле:

S = ∫ (от 0 до 1) (1/x) dx.

Однако, необходимо учитывать, что при x = 0 функция 1/x стремится к бесконечности. Это означает, что интеграл имеет разрыв в точке x = 0. Поэтому, чтобы корректно вычислить площадь, мы будем использовать предел:

S = lim (t → 0+) ∫ (от t до 1) (1/x) dx.

Теперь вычислим интеграл:

∫ (1/x) dx = ln|x| + C.

Подставим пределы интегрирования:

S = lim (t → 0+) [ln|1| - ln|t|] = lim (t → 0+) [0 - ln(t)] = lim (t → 0+) -ln(t).

Когда t стремится к 0, ln(t) стремится к -∞, и, следовательно, -ln(t) стремится к +∞. Это означает, что площадь фигуры F не является конечной, так как она равна +∞.

2. Если фигуру F вращать вокруг оси абсцисс, будет ли у полученного тела вращения конечный объём?

Теперь давайте рассмотрим, что произойдёт, если вращать фигуру F вокруг оси абсцисс. Для нахождения объёма тела вращения используется метод дисков или цилиндров. Объём V можно вычислить по формуле:

V = π ∫ (от 0 до 1) (f(x))^2 dx, где f(x) = 1/x.

Таким образом, объём V будет равен:

V = π ∫ (от 0 до 1) (1/x)^2 dx = π ∫ (от 0 до 1) (1/x^2) dx.

Также, как и в случае с площадью, необходимо учитывать, что при x = 0 функция 1/x^2 стремится к бесконечности. Поэтому мы используем предел:

V = π lim (t → 0+) ∫ (от t до 1) (1/x^2) dx.

Теперь вычислим интеграл:

∫ (1/x^2) dx = -1/x + C.

Подставим пределы интегрирования:

V = π lim (t → 0+) [-1/1 - (-1/t)] = π lim (t → 0+) [-1 + 1/t].

Когда t стремится к 0, 1/t стремится к +∞, и, следовательно, весь объём V также стремится к +∞. Это означает, что объём тела вращения также не является конечным.

Итак, в заключение:

• Фигура F имеет бесконечную площадь.
• Тело вращения, полученное при вращении фигуры F вокруг оси абсцисс, также имеет бесконечный объём.