Хорда длиной 6 корней из 3 см делит дугу окружности в отношении 1:2. Какова длина большей из двух образовавшихся дуг?

Геометрия 11 класс Дуги окружности и хорды хорда дуга окружности длина дуги геометрия 11 класс отношение дуг задачи по геометрии Новый

Для решения задачи начнем с анализа данных. У нас есть хорда, длина которой составляет 6 корней из 3 см. Она делит дугу окружности в отношении 1:2. Это означает, что одна из образовавшихся дуг составляет 1/3 от всей окружности, а другая - 2/3.

Теперь давайте найдем длину всей окружности. Для этого нам необходимо знать радиус окружности, который можно найти с помощью длины хорды и угла, который она поднимает в центре окружности.

Обозначим:

• r - радиус окружности;
• c - длина хорды (6 корней из 3 см);
• α - центральный угол, соответствующий хорде.

Сначала мы можем воспользоваться формулой для длины хорды:

c = 2 * r * sin(α/2)

Подставим известные значения:

6√3 = 2 * r * sin(α/2)

Теперь нам нужно выразить радиус через угол. Для этого используем соотношение между длиной дуги и радиусом:

Длина дуги = r * α

Поскольку дуга делится в отношении 1:2, можно сказать, что:

• Длина меньшей дуги = (1/3) * (2πr) = (2πr)/3;
• Длина большей дуги = (2/3) * (2πr) = (4πr)/3.

Теперь, чтобы найти длину большей дуги, нам нужно сначала найти радиус r. Для этого найдем угол α, используя длину хорды:

Для нахождения α можно воспользоваться формулой:

sin(α/2) = (c)/(2r) = (6√3)/(2r) = (3√3)/r.

Сейчас у нас есть несколько переменных, и нам нужно решить их. Подставим sin(α/2) в формулу для длины дуги:

Длина большей дуги = (4/3) * (2πr) = (8πr)/3.

Теперь, чтобы найти r, нам нужно знать α. Поскольку хорда делит окружность на 1:2, мы можем сказать, что α = (1/3) * 2π = (2π/3).

Теперь подставим α в формулу для радиуса:

r = (c)/(2 * sin(α/2)) = (6√3)/(2 * sin(π/3)) = (6√3)/(2 * (√3/2)) = 6.

Теперь можем найти длину большей дуги:

Длина большей дуги = (4/3) * (2π * 6) = (4/3) * 12π = 16π см.

Таким образом, длина большей из двух образовавшихся дуг составляет:

16π см.