Для решения задачи начнем с анализа условий. У нас есть точка А, из которой проведены:

• перпендикуляр AO к плоскости а длиной 48;
• две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 60°.

Обозначим основания наклонных как точки B и C, которые лежат на плоскости а.

Шаг 1: Найдем высоты от точки A до оснований B и C.

• Для наклонной, образующей угол 45° с плоскостью, высота (AB) будет равна AO, так как угол 45° означает, что наклонная равна высоте. Поэтому AB = AO = 48.
• Для наклонной, образующей угол 60° с плоскостью, высота (AC) можно найти по формуле: AC = AO * sin(60°). Поскольку sin(60°) = √3/2, то AC = 48 * √3/2 = 24√3.

Шаг 2: Теперь найдем расстояние между основаниями B и C. У нас есть угол между наклонными, который равен 30°. Это значит, что мы можем использовать закон косинусов для треугольника ABC, где:

• AB = 48;
• AC = 24√3;
• угол BAC = 30°.

Шаг 3: Применим закон косинусов:

1. BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(30°).
2. Заменяем значения: BC² = 48² + (24√3)² - 2 * 48 * 24√3 * (√3/2).
3. Считаем: BC² = 2304 + 1728 - 48 * 24√3 * (√3/2).
4. Упрощаем: BC² = 2304 + 1728 - 48 * 12 * 3 = 2304 + 1728 - 1728 = 2304.
5. Таким образом, BC = √2304 = 48.

Ответ: Расстояние между основаниями наклонных B и C равно 48 единицам.